Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ trên được tính theo công thức nào dưới đây?
 | \(\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}(-2x+2)\mathrm{\,d}x\) |
 | \(\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}(2x-2)\mathrm{\,d}x\) |
 | \(\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}\left(-2x^2+2x+4\right)\mathrm{\,d}x\) |
 | \(\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}\left(2x^2-2x-4\right)\mathrm{\,d}x\) |
Cho hình phẳng \(H\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\) trục \(Ox\) và đường thẳng \(x=-1\) (phần gạch sọc như hình trên). Gọi \(S\) là diện tích của hình phẳng \(H\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
| \(S=\displaystyle\int\limits_{-1}^0|f(x)|\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int\limits_0^2|f(x)|\mathrm{\,d}x\) |
| \(S=\displaystyle\int\limits_{-1}^2f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(S=\displaystyle\int\limits_{-1}^0f(x)\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int\limits_0^2f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(S=\displaystyle\int\limits_{-1}^0f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_0^2f(x)\mathrm{\,d}x\) |
Cho đồ thị hàm số \(y=h(x)\). Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo trong hình vẽ) bằng
| \(\displaystyle\int\limits_{-1}^{0}h(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{0}^{1}h(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}h(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{-1}^{0}h(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{1}^{0}h(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(-\displaystyle\int\limits_{-1}^{0}h(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{0}^{1}h(x)\mathrm{\,d}x\) |
Diện tích hình phẳng \(S\) đối với hình vẽ trên là
| \(S=-\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(S=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(S=\displaystyle\int\limits_{b}^{a}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(S=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}-f(x)\mathrm{\,d}x\) |
Cho đồ thị hàm số \(y=f(x)\) như hình vẽ và \(\displaystyle\int\limits_{-2}^{0}f(x)\mathrm{\,d}x=a\), \(\displaystyle\int\limits_{0}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x=b\). Tính diện tích của phần được gạch chéo theo \(a\) và \(b\).
| \(\dfrac{a+b}{2}\) |
| \(a-b\) |
| \(b-a\) |
| \(a+b\) |
Diện tích phần hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng
| \(\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}{\left(-2x^2+2x+4\right)\mathrm{\,d}x}\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}{\left(2x^2-2x-4\right)\mathrm{\,d}x}\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}{\left(-2x^2-2x+4\right)\mathrm{\,d}x}\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}{\left(2x^2+2x-4\right)\mathrm{\,d}x}\) |
Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=-1\), \(x=2\) (như hình vẽ).
Đặt \(a=\displaystyle\int\limits_{-1}^{0}f(x)\mathrm{\,d}x\), \(b=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x\), mệnh đề nào dưới đây đúng?
| \(S=b-a\) |
| \(S=b+a\) |
| \(S=a-b\) |
| \(S=-a-b\) |
Một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn $8$m và độ dài trục nhỏ $6$m. Người ta cần trồng rau trên dải đất rộng $4$m như hình vẽ.
Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng rau trên dải đất đó, biết rằng kinh phí trồng rau là $70000$ đồng/m$^2$?
| $1.607.107$ đồng |
| $803.553$ đồng |
| $267.851$ đồng |
| $2.638.938$ đồng |
Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$. Biết rằng hàm số $g(x)=\ln f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f'(x)$ và $y=g'(x)$ thuộc khoảng nào dưới đây?
| $(5;6)$ |
| $(4;5)$ |
| $(2;3)$ |
| $(3;4)$ |
Diện tích $S$ của phần hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^3\left|\dfrac{1}{2}{x^2}+\left(x^2-7x+12\right)\right|\mathrm{d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^2\dfrac{1}{2}{x^2}\rm{d}x-\displaystyle\displaystyle\int\limits_2^3\left(x^2-7x+12\right)\mathrm{d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^2\dfrac{1}{2}{x^2}\mathrm{d}x+\displaystyle\displaystyle\int\limits_2^3\left(x^2-7x+12\right)\mathrm{d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^3\left|\dfrac{1}{2}{x^2}-\left(x^2-7x+12\right)\right|\mathrm{d}x$ |
Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên dưới.
| $1$ |
| $\dfrac{7}{6}$ |
| $\dfrac{5}{3}$ |
| $\dfrac{7}{5}$ |
Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và trục hoành (phần gạch sọc như hình vẽ).
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{c}f(x)\mathrm{d}x$ |
| $S=\left|\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x+\displaystyle\displaystyle\int\limits_{b}^{c}f(x)\mathrm{d}x\right|$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{b}^{c}f(x)\mathrm{d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{c}f(x)\mathrm{d}x-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$ |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,\,x=b$ $(a< b)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
| $S=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\big|f(x)\big|\mathrm{d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$ |
| $S=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\big|f(x)\big|\mathrm{d}x$ |
Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá $1m^2$ của rào sắt là $700 000$ đồng.
Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn).
(Cảm ơn tác giả đã vẽ hình và trình bày, cảm ơn TS. Trần Lê Nam đã chia sẻ)
| $6 520 000$ đồng |
| $6 320 000$ đồng |
| $6 417 000$ đồng |
| $6 620 000$ đồng |
Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Diện tích $S$ của miền được tô đậm như hình vẽ được tính theo công thức nào sau đây?
| $S=-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{4}f(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $S=-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{4}f(x)\mathrm{\,d}x$ |
Một khung cửa kính hình parabol với đỉnh $M$ và cạnh đáy $AB$ như minh họa ở hình bên. Biết chi phí để lắp phần kính màu (phần tô đậm trong hình) là $200.000$ đồng/m$^2$ và phần kính trắng còn lại là $150.000$ đồng/m$^2$.
Cho $MN=AB=4$m và $MC=CD=DN$. Hỏi số tiền để lắp kính cho khung cửa như trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?
| $1.954.000$ đồng |
| $2.123.000$ đồng |
| $1.946.000$ đồng |
| $2.145.000$ đồng |
Cho hai hàm số $f(x)=mx^3+nx^2+px-\dfrac{5}{2}$ $(m,\,n,\,p\in\mathbb{R})$ và $g(x)=x^2+2x-1$ có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $-3$, $-1$, $1$ (tham khảo hình vẽ bên).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $f(x)$ và $g(x)$ bằng
| $\dfrac{9}{2}$ |
| $\dfrac{18}{5}$ |
| $4$ |
| $5$ |
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol $y=x^2+3x-1$ và $y=-x^2+x+3$ được tô đậm trong hình bên có giá trị bằng
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{1}\left(4x+2\right)\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{1}\left(2x^2+2x-4\right)\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{1}\left(4-2x-2x^2\right)\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{1}\left(-4x-2\right)\mathrm{\,d}x$ |
Cho hàm số $y=2^x$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Diện tích $S$ của hình phẳng được tô đậm trong hình bằng
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{2}2^x\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}2^{2x}\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}2^x\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}2^x\mathrm{\,d}x$ |
Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và các đường thẳng $x=a$, $x=b$. Diện tích $S$ được tính theo công thức nào dưới đây?
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left[g(x)-f(x)\right]\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b|f(x)-g(x)|\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\left|\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left[f(x)-g(x)\right]\mathrm{\,d}x\right|$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left[f(x)-g(x)\right]\mathrm{\,d}x$ |