Cho các số thực $a,\,b$ ($a< b$) và hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
 | $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=f'(a)-f'(b)$ |
 | $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f'(x)\mathrm{\,d}x=f(b)-f(a)$ |
 | $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=f'(b)-f'(a)$ |
 | $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f'(x)\mathrm{\,d}x=f(a)-f(b)$ |
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0;2]$, $f(0)=3$ và $f(2)=0$. Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^2f'(x)\mathrm{\,d}x$ có giá trị bằng
| $3$ |
| $-3$ |
| $2$ |
| $\dfrac{3}{2}$ |
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)\) liên tục trên \([a;b]\), \(f(b)=5\), \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f'(x)\mathrm{\,d}x=3\sqrt{5}\). Tính \(f(a)\).
| \(f(a)=3\sqrt{5}\) |
| \(f(a)=\sqrt{5}\left(\sqrt{5}-3\right)\) |
| \(f(a)=\sqrt{3}\left(\sqrt{5}-3\right)\) |
| \(f(a)=\sqrt{5}\left(3-\sqrt{5}\right)\) |
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên đoạn \([-2;1]\) và \(f(-2)=3\), \(f(1)=7\). Tính \(I=\displaystyle\int\limits_{-2}^{1}f'(x)\mathrm{\,d}x\).
| \(I=\dfrac{7}{3}\) |
| \(I=-4\) |
| \(I=10\) |
| \(I=4\) |
Cho các số thực \(a\) và \(b\) (\(a< b\)). Nếu hàm số \(f(x)\) có đạo hàm là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=f'(b)-f'(a)\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f'(x)\mathrm{\,d}x=f(a)-f(b)\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f'(x)\mathrm{\,d}x=f(b)-f(a)\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=f'(a)-f'(b)\) |
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(x)+x f'(x)=4x^3-6x^2$, $\forall x\in\mathbb{R}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$ và $y=f'(x)$ bằng
| $\dfrac{7}{12}$ |
| $\dfrac{45}{4}$ |
| $\dfrac{1}{2}$ |
| $\dfrac{71}{6}$ |
Phát biểu nào sau đây đúng?
| Hàm số $y=f(x)$ đạt cực trị tại $x_0$ khi và chỉ khi $x_0$ là nghiệm của đạo hàm |
| Nếu $f'\big(x_0\big)=0$ và $f''\big(x_0\big)>0$ thì hàm số đạt cực đại tại $x_0$ |
| Nếu $f'\big(x_0\big)=0$ và $f''\big(x_0\big)=0$ thì $x_0$ không phải là cực trị của hàm số $y=f(x)$ đã cho |
| Nếu $f'(x)$ đổi dấu khi $x$ qua điểm $x_0$ và $y=f(x)$ liên tục tại $x_0$ thì hàm số $y=f(x)$ đạt cực trị tại điểm $x_0$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{5}f(x)\mathrm{\,d}x=-3$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{5}^{-1}f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $5$ |
| $6$ |
| $4$ |
| $3$ |
Cho hàm số $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ với $a,\,b,\,c$ là các số thực. Biết hàm số $g(x)=f(x)+f'(x)+f''(x)$ có hai giá trị cực trị là $-3$ và $6$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{f(x)}{g(x)+6}$ và $y=1$ bằng
| $2\ln3$ |
| $\ln3$ |
| $\ln18$ |
| $2\ln2$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^2f(x)\mathrm{\,d}x=4$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^23f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $36$ |
| $12$ |
| $3$ |
| $4$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^4f(x)\mathrm{\,d}x=3$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^4g(x)\mathrm{\,d}x=-2$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^4[f(x)-g(x)]\mathrm{\,d}x$ bằng
| $-1$ |
| $-5$ |
| $5$ |
| $1$ |
Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn $f\left(2\right)=25$ và $f'\left(x\right)=4x\sqrt{f\left(x\right)}$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Khi đó $\displaystyle\displaystyle\int\limits_2^3f\left(x\right)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $\dfrac{1073}{15}$ |
| $\dfrac{458}{15}$ |
| $\dfrac{838}{15}$ |
| $\dfrac{1016}{15}$ |
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $f(x)+2f(2-x)=x^2-6x+4$. Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^3x f^{\prime}(x)\mathrm{d}x$ bằng
| $20$ |
| $\dfrac{149}{3}$ |
| $\dfrac{167}{3}$ |
| $\dfrac{176}{9}$ |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,\,x=b$ $(a< b)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
| $S=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\big|f(x)\big|\mathrm{d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$ |
| $S=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\big|f(x)\big|\mathrm{d}x$ |
Cho $f(x)$ và $g(x)$ là các hàm số liên tục trên đoạn $[a;b]$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\big[f(x)-g(x)\big]\mathrm{d}x=-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\big[f(x)-g(x)\big]\mathrm{d}x=-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x+\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\big[f(x)-g(x)\big]\mathrm{d}x=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\big[f(x)-g(x)\big]\mathrm{d}x=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x+\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x$ |
Cho $u=u(x)$ và $v=v(x)$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
| $(u.v)^{\prime}=u'.v-u.v'$ |
| $(u.v)^{\prime}=u'.v'$ |
| $(u+v)^{\prime}=u'.v+u.v'$ |
| $(u.v)^{\prime}=u'.v+u.v'$ |
Cho $u=u(x)$, $v=v(x)$ và $k$ là hằng số. Mệnh đề nào sau đây là sai?
| $(k.u)^{\prime}=k.u'$ |
| $\left(\dfrac{1}{v}\right)^{\prime}=-\dfrac{1}{v^2}$ |
| $\left(u^n\right)^{\prime}=n.u^{n-1}.u'$ |
| $\left(\sqrt{u}\right)^{\prime}=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ |
Mệnh đề nào sau đây là sai?
| $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$ |
| $(\sin x)^{\prime}=-\cos x$ |
| $(\cot x)^{\prime}=-\dfrac{1}{\sin^2x}$ |
| $(\tan x)^{\prime}=\dfrac{1}{\cos^2x}$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ ($a< b$). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành được tính theo công thức
| $V=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left|f(x)\right|\mathrm{\,d}x$ |
| $V=\pi^2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $V=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $V=\pi^2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{\,d}x$ |
Hàm số $y=\cot x$ có đạo hàm là
| $y'=-\dfrac{1}{\cos^2x}$ |
| $y'=-\dfrac{1}{\sin^2x}$ |
| $y'=\tan x$ |
| $y'=\dfrac{1}{\sin^2x}$ |