Cho hàm số $$f(x)=\begin{cases}
\dfrac{x^2}{2} &\text{khi }x\leq1\\
ax+b &\text{khi }x>1
\end{cases}$$Tìm tất cả các giá trị của \(a,\,b\) sao cho \(f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x=1\).
 | \(a=1,\;b=-\dfrac{1}{2}\) |
 | \(a=\dfrac{1}{2},\;b=\dfrac{1}{2}\) |
 | \(a=\dfrac{1}{2},\;b=-\dfrac{1}{2}\) |
 | \(a=1,\;b=\dfrac{1}{2}\) |
Cho hàm số $$f(x)=\begin{cases}
\dfrac{\sqrt{x^2+1}-1}{x} &\text{khi }x\neq0\\
0 &\text{khi }x=0
\end{cases}$$Tính \(f'(0)\).
| \(f'(0)=0\) |
| \(f'(0)=1\) |
| \(f'(0)=\dfrac{1}{2}\) |
| Không tồn tại |
Cho hàm số $$f(x)=\begin{cases}
\dfrac{3-\sqrt{4-x}}{4} &\text{khi }x\neq0\\
\dfrac{1}{4} &\text{khi }x=0
\end{cases}$$Tính \(f'(0)\).
| \(f'(0)=\dfrac{1}{4}\) |
| \(f'(0)=\dfrac{1}{16}\) |
| \(f'(0)=\dfrac{1}{32}\) |
| Không tồn tại |
Cho hàm số $$f(x)=\begin{cases}
mx^2+2x+2 &\text{khi }x>0\\
nx+1 &\text{khi }x\leq0
\end{cases}$$Tìm tất cả các giá trị của \(m\) và \(n\) sao cho \(f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x=0\).
| Không tồn tại |
| \(m=2,\;n\in\mathbb{R}\) |
| \(n=2,\;m\in\mathbb{R}\) |
| \(m=n=2\) |
Cho hàm số $y=\begin{cases}x^2+ax+b&\text{khi }x\ge2\\ x^3-x^2-8x+10&\text{khi }x<2\end{cases}$. Biết hàm số có đạo hàm tại điểm $x=2$. Giá trị của $a^2+b^2$ bằng
| $20$ |
| $17$ |
| $18$ |
| $25$ |
Cho hàm số $f\left(x\right)=\begin{cases}ax^2+bx+1&\text{khi }x\ge0\\ ax-b-1&\text{khi }x<0\end{cases}$. Khi hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm tại $x_0=0$, hãy tính $T=a+2b$.
| $T=-4$ |
| $T=0$ |
| $T=-6$ |
| $T=4$ |
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm thỏa mãn \(f'(6)=2\). Tính giới hạn \(\lim\limits_{x\to6}\dfrac{f(x)-f(6)}{x-6}\).
| \(2\) |
| \(\dfrac{1}{3}\) |
| \(\dfrac{1}{2}\) |
| \(12\) |
Giới hạn nào sau đây tồn tại tại \(x_0=-\dfrac{1}{2}\)?
| \(\lim\limits_{x\to-\tfrac{1}{2}}\dfrac{|2x+1|}{2x+1}\) |
| \(\lim\limits_{x\to-\tfrac{1}{2}}\dfrac{2x+1}{|2x+1|}\) |
| \(\lim\limits_{x\to-\tfrac{1}{2}}f(x)\) với \(f(x)=\begin{cases}13x+4 &\text{khi }x\leq-\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{2x^2-3x-2}{2x+1} &\text{khi }x>-\dfrac{1}{2}\end{cases}\) |
| \(\lim\limits_{x\to-\tfrac{1}{2}}f(x)\) với \(f(x)=\begin{cases}13x+4 &\text{khi }x\leq-\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{2x^2+7x+3}{2x+1} &\text{khi }x>-\dfrac{1}{2}\end{cases}\) |
Cho hàm số $$f(x)=\begin{cases}
x^2-1 &\text{khi }x\geq0\\
-x^2 &\text{khi }x<0
\end{cases}$$Khẳng định nào sau đây sai?
| Hàm số không liên tục tại \(x=0\) |
| Hàm số có đạo hàm tại \(x=2\) |
| Hàm số liên tục tại \(x=2\) |
| Hàm số có đạo hàm tại \(x=0\) |
Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $\left(a;b\right)$, $x_0\in\left(a;b\right)$. Đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm $x_0$ là
| $f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{\Delta y\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ |
| $f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ |
| $f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ |
| $f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\Delta x}{\Delta y}$ |
Cho hàm số $f\left(x\right)=\begin{cases}\left(x-1\right)^2&\text{khi }x\ge0 \\ -x^2&\text{khi }x<0\end{cases}$ có đạo hàm tại điểm $x_0=0$ bằng
| $f'\left(0\right)=0$ |
| $f'\left(0\right)=1$ |
| $f'\left(0\right)=-2$ |
| Không tồn tại |
Cho hàm số $f\left(x\right)= \begin{cases}\dfrac{3-\sqrt{4-x}}{4}&\text{khi }x\ne0\\ \dfrac{1}{4}&\text{khi }x=0\end{cases}$. Khi đó $f'\left(0\right)$ là kết quả nào sau đây?
| $\dfrac{1}{4}$ |
| $\dfrac{1}{16}$ |
| $\dfrac{1}{32}$ |
| Không tồn tại |
Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm tại điểm $x_0=2$. Tính $$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{2f\left(x\right)-xf\left(2\right)}{x-2}.$$
| $0$ |
| $f'\left(2\right)$ |
| $2f'\left(2\right)-f\left(2\right)$ |
| $f\left(2\right)-2f'\left(2\right)$ |
Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\lim\limits_{x\to3}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(3\right)}{x-3}=2$. Kết quả đúng là
| $f'\left(2\right)=3$ |
| $f'\left(x\right)=2$ |
| $f'\left(x\right)=3$ |
| $f'\left(3\right)=2$ |
Giới hạn của hàm số $$f(x)=\begin{cases}
\dfrac{x^2-4x+3}{|x-3|} &\text{khi }x< 3\\ |3x-11| &\text{khi }x\geq3
\end{cases}$$tại \(x_0=3\) bằng
| \(-2\) |
| \(2\) |
| \(3\) |
| Không tồn tại |
Giới hạn của hàm số $$f(x)=\begin{cases}
\dfrac{x^2-4x+3}{|x-3|} &\text{khi }x>3 \\
|3x-11| &\text{khi }x\leq3
\end{cases}$$tại \(x_0=3\) bằng
| \(-2\) |
| \(2\) |
| \(3\) |
| Không tồn tại |
Giới hạn của hàm số $$f(x)=\begin{cases}
2x+5 &\text{khi }x\geq4\\
\dfrac{x^2-16}{x-4} &\text{khi }x<4
\end{cases}$$tại \(x_0=4\) bằng
| \(13\) |
| \(8\) |
| \(4\) |
| Không tồn tại |
Giới hạn của hàm số $$f(x)=\begin{cases}
x^2+x+1 &\text{khi }x\leq1\\
x^2-4 &\text{khi }x>1
\end{cases}$$tại \(x_0=1\) bằng
| \(1\) |
| \(-3\) |
| \(3\) |
| Không tồn tại |
Giới hạn của hàm số $$f(x)=\begin{cases}
x^2+x+1 &\text{khi }x\leq1\\
5x^2-2 &\text{khi }x>1
\end{cases}$$tại \(x_0=1\) bằng
| \(1\) |
| \(-3\) |
| \(3\) |
| Không tồn tại |
Giới hạn \(\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x^3-x^2+x-6}\) bằng
| \(0\) |
| \(\dfrac{1}{7}\) |
| \(\dfrac{1}{9}\) |
| Không tồn tại |