Tính tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{1}^{\mathrm{e}}\dfrac{\sqrt{2+\ln x}}{2x}\mathrm{\,d}x\).
 | \(\dfrac{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{3}\) |
 | \(\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3}\) |
 | \(\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3}\) |
 | \(\dfrac{3\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{3}\) |
Hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \([1;4]\) và thỏa mãn \(f(x)=\dfrac{f\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}}+\dfrac{\ln x}{x}\). Tính tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{3}^{4}f(x)\mathrm{\,d}x\).
| \(I=3+2\ln^22\) |
| \(I=\ln^2\) |
| \(I=2\ln2\) |
| \(I=2\ln^22\) |
Cho tích phân \(\displaystyle\int\limits_{0}^{3}\dfrac{x}{1+\sqrt{1+x}}\mathrm{\,d}x\) và đặt \(t=\sqrt{1+x}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
| \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(t^2-1\right)\mathrm{\,d}t\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(2t^2+2t\right)\mathrm{\,d}t\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(t^2+t\right)\mathrm{\,d}t\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(2t^2-2t\right)\mathrm{\,d}t\) |
Cho $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\dfrac{2}{3}\left(\sqrt{a}-b\right)$ với $a$, $b$ là các số dương. Giá trị của biểu thức $T=a+b$ là
| $10$ |
| $7$ |
| $6$ |
| $8$ |
Biết $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1x\sqrt{x^2+4}\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{a}\left(\sqrt{b^3}-c\right)$. Tính $Q=abc$.
| $Q=120$ |
| $Q=15$ |
| $Q=-120$ |
| $Q=40$ |
Tính $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{a}\dfrac{x^3+x}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{\,d}x$.
| $I=\left(a^2+1\right)\sqrt{a^2+1}+1$ |
| $I=\left(a^2+1\right)\sqrt{a^2+1}-1$ |
| $I=\dfrac{1}{3}\left[\left(a^2+1\right)\sqrt{a^2+1}-1\right]$ |
| $I=\dfrac{1}{3}\left[\left(a^2+1\right)\sqrt{a^2+1}+1\right]$ |
Nếu \(t=\sqrt{x^2+3}\) thì tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}x\sqrt{x^2+3}\mathrm{\,d}x\) trở thành
| \(I=\displaystyle\int\limits_{2}^{\sqrt{7}}t\mathrm{\,d}t\) |
| \(I=\displaystyle\int\limits_{2}^{7}t^2\mathrm{\,d}t\) |
| \(I=\displaystyle\int\limits_{2}^{\sqrt{7}}t^2\mathrm{\,d}t\) |
| \(I=\displaystyle\int\limits_{2}^{\sqrt{7}}t^3\mathrm{\,d}t\) |
Cho \(I=\displaystyle\int\limits_0^4x\sqrt{1+2x}\mathrm{\,d}x\) và \(u=\sqrt{2x+1}\). Mệnh đề nào sau đây sai?
| \(I=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{u^5}{5}-\dfrac{u^3}{3}\right)\bigg|_1^3\) |
| \(I=\displaystyle\int\limits_1^3u^2\left(u^2-1\right)\mathrm{\,d}u\) |
| \(I=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_1^3x^2\left(x^2-1\right)\mathrm{\,d}x\) |
| \(I=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_1^3u^2\left(u^2-1\right)\mathrm{\,d}u\) |
Cho tích phân \(I=\displaystyle\int_0^4x\sqrt{x^2+9}\mathrm{\,d}x\). Khi đặt \(t=\sqrt{x^2+9}\) thì tích phân đã cho trở thành
| \(I=\displaystyle\int_3^5t\mathrm{\,d}t\) |
| \(I=\displaystyle\int_0^4t\mathrm{\,d}t\) |
| \(I=\displaystyle\int_0^4t^2\mathrm{\,d}t\) |
| \(I=\displaystyle\int_3^5t^2\mathrm{\,d}t\) |
Cho \(\displaystyle\int\limits_1^3 \dfrac{\left(x+6\right)^{2017}}{x^{2019}}\mathrm{\,d}x=\dfrac{a^{2018}-3^{2018}}{6\cdot 2018}\). Tính \(a\).
| \(7\) |
| \(9\) |
| \(6\) |
| \(8\) |
Tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2+1}\mathrm{\,d}x=a-\ln b\), trong đó \(a,\,b\) là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức \(a+b\).
| \(1\) |
| \(0\) |
| \(-1\) |
| \(3\) |
Biết rằng \(\displaystyle\int\limits_2^7\dfrac{x\mathrm{\,d}x}{x^2+1}=a\ln2-b\ln5\) với \(a,\,b\in\Bbb{Q}\). Giá trị của \(2a+b\) bằng
| \(\dfrac{3}{2}\) |
| \(\dfrac{1}{2}\) |
| \(1\) |
| \(2\) |
Cho \(\displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{\sin x+1}\mathrm{\,d}x=a\ln2+b\ln3\) (\(a,\,b\in\mathbb{Z}\)). Khi đó, giá trị của \(a\cdot b\) là
| \(2\) |
| \(-2\) |
| \(-4\) |
| \(3\) |
Cho \(\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{\left(\sin x\right)^2-5\sin x+6}\mathrm{\,d}x=a\ln\dfrac{4}{c}+b\), với \(a,\,b\) là các số hữu tỉ, \(c>0\). Tính tổng \(S=a+b+c\).
| \(S=3\) |
| \(S=4\) |
| \(S=0\) |
| \(S=1\) |
Tính \(I=\displaystyle\int\limits_{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}^2}\dfrac{\left(1-\ln x\right)^2}{x}\mathrm{\,d}x\) được kết quả là
| \(\dfrac{4}{3}\) |
| \(\dfrac{5}{3}\) |
| \(\dfrac{1}{3}\) |
| \(\dfrac{13}{3}\) |
Cho \(I=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}x\sqrt{4-x^2}\mathrm{\,d}x\) và \(t=\sqrt{4-x^2}\). Khẳng định nào sau đây sai?
| \(I=\sqrt{3}\) |
| \(I=\dfrac{t^2}{2}\bigg|_0^{\sqrt{3}}\) |
| \(I=\displaystyle\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}t^2\mathrm{\,d}t\) |
| \(I=\dfrac{t^3}{3}\bigg|_0^{\sqrt{3}}\) |
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) có \(f\left(3\right)=3\) và \(f'\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1-\sqrt{x+1}}\), \(\forall x>0\). Khi đó \(\displaystyle\int\limits_3^8f\left(x\right)\mathrm{\,d}x\) bằng
| \(7\) |
| \(\dfrac{197}{6}\) |
| \(\dfrac{29}{2}\) |
| \(\dfrac{181}{6}\) |
Biết \(\displaystyle\int\limits_1^2\dfrac{4\mathrm{\,d}x}{(x+4)\sqrt{x}+x\sqrt{x+4}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}-d\) với \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) là các số nguyên dương. Tính \(P=a+b+c+d\).
| \(48\) |
| \(46\) |
| \(54\) |
| \(52\) |
Biết \(I=\displaystyle\int\limits_1^2\dfrac{dx}{\left(2x+2\right)\sqrt{x}+2x\sqrt{x+1}}=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-c}{2}\) với \(a\), \(b\), \(c\) là các số nguyên dương. Tính \(P=a-b+c\).
| \(P=24\) |
| \(P=12\) |
| \(P=18\) |
| \(P=22\) |
Biết \(\displaystyle\int\limits_1^3\dfrac{\mathrm{\,d}x}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}=a\sqrt{3}+b\sqrt{2}+c\) với \(a\), \(b\), \(c\) là các số hữu tỷ. Tính \(P =a+b+c\).
| \(P=\dfrac{13}{2}\) |
| \(P=\dfrac{16}{3}\) |
| \(P=5\) |
| \(P=\dfrac{2}{3}\) |