Tính tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{1}^{\mathrm{e}}\dfrac{\sqrt{2+\ln x}}{2x}\mathrm{\,d}x\).
 | \(\dfrac{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{3}\) |
 | \(\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3}\) |
 | \(\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3}\) |
 | \(\dfrac{3\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{3}\) |
Hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \([1;4]\) và thỏa mãn \(f(x)=\dfrac{f\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}}+\dfrac{\ln x}{x}\). Tính tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{3}^{4}f(x)\mathrm{\,d}x\).
| \(I=3+2\ln^22\) |
| \(I=\ln^2\) |
| \(I=2\ln2\) |
| \(I=2\ln^22\) |
Tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2+1}\mathrm{\,d}x=a-\ln b\), trong đó \(a,\,b\) là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức \(a+b\).
| \(1\) |
| \(0\) |
| \(-1\) |
| \(3\) |
Biết rằng \(\displaystyle\int\limits_2^7\dfrac{x\mathrm{\,d}x}{x^2+1}=a\ln2-b\ln5\) với \(a,\,b\in\Bbb{Q}\). Giá trị của \(2a+b\) bằng
| \(\dfrac{3}{2}\) |
| \(\dfrac{1}{2}\) |
| \(1\) |
| \(2\) |
Cho \(\displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{\sin x+1}\mathrm{\,d}x=a\ln2+b\ln3\) (\(a,\,b\in\mathbb{Z}\)). Khi đó, giá trị của \(a\cdot b\) là
| \(2\) |
| \(-2\) |
| \(-4\) |
| \(3\) |
Cho \(\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{\left(\sin x\right)^2-5\sin x+6}\mathrm{\,d}x=a\ln\dfrac{4}{c}+b\), với \(a,\,b\) là các số hữu tỉ, \(c>0\). Tính tổng \(S=a+b+c\).
| \(S=3\) |
| \(S=4\) |
| \(S=0\) |
| \(S=1\) |
Xét tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^{\rm{e}^2}\dfrac{\left(1+2\ln x\right)^2}{x}\mathrm{\,d}x$, nếu đặt $t=1+2\ln{x}$ thì $I$ bằng
| $\dfrac{1}{2}\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^{e^2}t^2\mathrm{\,d}t$ |
| $2\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^5t^2\mathrm{\,d}t$ |
| $2\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^{e^2}t^2\mathrm{\,d}t$ |
| $\dfrac{1}{2}\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^5t^2\mathrm{\,d}t$ |
Tính nguyên hàm $\displaystyle\displaystyle\int\dfrac{\left(\ln x+2\right)\mathrm{d}x}{x\ln x}$ bằng cách đặt $t=\ln x$ ta được nguyên hàm nào sau đây?
| $\displaystyle\displaystyle\int\dfrac{t\mathrm{\,d}t}{t-2}$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int(t+2)\mathrm{\,d}t$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\left(1+\dfrac{2}{t}\right)\mathrm{\,d}t$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\dfrac{(t+2)\mathrm{\,d}t}{t^2}$ |
Bằng cách đổi biến số $t=1+\ln x$ thì tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^\mathrm{e}\dfrac{(1+\ln x)^2}{x}\mathrm{\,d}x$ trở thành
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^\mathrm{e}t^2\mathrm{\,d}t$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^2t^2\mathrm{\,d}t$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^4t^2\mathrm{\,d}t$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^2(1+t)^2\mathrm{\,d}t$ |
Biết $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^1\left(\dfrac{9}{x-3}-\dfrac{7}{x-2}\right)\mathrm{\,d}x=a\ln{3}-b\ln{2}$. Tính giá trị $P=a^2+b^2$.
| $P=32$ |
| $P=130$ |
| $P=2$ |
| $P=16$ |
Biết rằng \(I=\displaystyle\int\limits_{1}^{a}\dfrac{\ln x}{x^2}\mathrm{\,d}x=\dfrac{1-\ln2}{2}\). Giá trị của \(a\) bằng
| \(2\) |
| \(\ln2\) |
| \(4\) |
| \(8\) |
Cho \(\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{x^2+1}{x+1}\mathrm{\,d}x=a+b\ln c\), với \(a\in\mathbb{Q}\), \(b\in\mathbb{Z}\), \(c\) là số nguyên tố. Ta có \(2a+b+c\) bằng
| \(5\) |
| \(4\) |
| \(3\) |
| \(2\) |
Giả sử tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{1}^{6}\dfrac{1}{2x+1}\mathrm{\,d}x=\ln M\), tìm \(M\).
| \(M=13\) |
| \(M=4,33\) |
| \(M=\sqrt{\dfrac{13}{3}}\) |
| \(M=\dfrac{13}{3}\) |
Cho \(\displaystyle\int\limits_1^3 \dfrac{\left(x+6\right)^{2017}}{x^{2019}}\mathrm{\,d}x=\dfrac{a^{2018}-3^{2018}}{6\cdot 2018}\). Tính \(a\).
| \(7\) |
| \(9\) |
| \(6\) |
| \(8\) |
Cho tích phân \(\displaystyle\int\limits_{0}^{3}\dfrac{x}{1+\sqrt{1+x}}\mathrm{\,d}x\) và đặt \(t=\sqrt{1+x}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
| \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(t^2-1\right)\mathrm{\,d}t\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(2t^2+2t\right)\mathrm{\,d}t\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(t^2+t\right)\mathrm{\,d}t\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(2t^2-2t\right)\mathrm{\,d}t\) |
Giả sử \(\displaystyle\int\limits_{3}^{5}\dfrac{\mathrm{d}x}{x^2-x}=a\ln5+b\ln3+c\ln2\). Tính giá trị biểu thức \(S=-2a+b+3c^2\).
| \(S=3\) |
| \(S=6\) |
| \(S=-2\) |
| \(S=0\) |
Biết rằng \(\displaystyle\int\limits_{1}^{5}\dfrac{1}{2x-1}\mathrm{\,d}x=\ln a\). Giá trị của \(a\) là
| \(81\) |
| \(27\) |
| \(3\) |
| \(9\) |
Nếu \(\displaystyle\int\limits_{0}^{3}\dfrac{x}{1+\sqrt{1+x}}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}f(t)\mathrm{\,d}t\), với \(t=\sqrt{1+x}\) thì \(f(t)\) là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
| \(f(t)=t^2-1\) |
| \(f(t)=2t^2+2t\) |
| \(f(t)=t^2+t\) |
| \(f(t)=2t^2-2t\) |
Đạo hàm của hàm số $y=\dfrac{\ln2x}{x}$ là
| $y'=\dfrac{1-\ln2x}{x^2}$ |
| $y'=\dfrac{\ln2x}{2x}$ |
| $y'=\dfrac{\ln2x}{x^2}$ |
| $y'=\dfrac{1}{2x}$ |
Đạo hàm của hàm số $y=\dfrac{\ln2x}{x}$ là
| $y'=\dfrac{1-\ln2x}{x^2}$ |
| $y'=\dfrac{\ln2x}{2x}$ |
| $y'=\dfrac{\ln2x}{x^2}$ |
| $y'=\dfrac{1}{2x}$ |