Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong \(y=\dfrac{1}{2}x^2\) và đường thẳng \(y=x\) được tính theo công thức nào sau đây?
 | \(S=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left|x^2-2x\right|\mathrm{\,d}x\) |
 | \(S=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left|\dfrac{1}{2}x^2-x\right|\mathrm{\,d}x\) |
 | \(S=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left(\dfrac{1}{2}x^2-x\right)^2\mathrm{\,d}x\) |
 | \(S=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left(\dfrac{1}{2}x^2-x\right)\mathrm{\,d}x\) |
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y=x^2-4\) và \(y=2x-4\) bằng
| \(36\) |
| \(\dfrac{4}{3}\) |
| \(\dfrac{4\pi}{3}\) |
| \(36\pi\) |
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^3-x\) và đồ thị hàm số \(y=x-x^2\).
| \(\dfrac{37}{12}\) |
| \(\dfrac{27}{4}\) |
| \(13\) |
| \(\dfrac{9}{4}\) |
Cho hình \(D\) giới hạn bởi các đường \(y=x^2-2\) và \(y=-|x|\). Khi đó diện tích của hình \(D\) là
| \(\dfrac{13}{3}\) |
| \(\dfrac{7\pi}{3}\) |
| \(\dfrac{7}{3}\) |
| \(\dfrac{13\pi}{3}\) |
Tính diện tích hình phẳng tạo thành bởi parabol \(y=x^2\), đường thẳng \(y=-x+2\) và trục hoành trên đoạn \([0;2]\) (phần gạch sọc trong hình vẽ).
| \(\dfrac{5}{6}\) |
| \(\dfrac{7}{6}\) |
| \(\dfrac{2}{3}\) |
| \(\dfrac{3}{5}\) |
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y=x^2\) và \(y=x\) là
| \(1\) |
| \(\dfrac{3}{2}\) |
| \(\dfrac{1}{2}\) |
| \(\dfrac{1}{6}\) |
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=-x^2+4x-3\), \(x=0\), \(x=3\), \(Ox\).
| \(-\dfrac{8}{3}\) |
| \(-\dfrac{4}{3}\) |
| \(\dfrac{4}{3}\) |
| \(\dfrac{8}{3}\) |
Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol \((P)\colon y=x^2\) và đường thẳng \(d\colon y=x\) xoay quanh trục \(Ox\) bằng
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}x^2\mathrm{\,d}x-\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}x^4\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}x^2\mathrm{\,d}x+\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}x^4\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left(x^2-x\right)^2\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left(x^2-x\right)\mathrm{\,d}x\) |
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=-x^2+2x\) và đường thẳng \(y=-3x\).
| \(S=\dfrac{125}{2}\) |
| \(S=\dfrac{125}{3}\) |
| \(S=\dfrac{125}{6}\) |
| \(S=\dfrac{125}{8}\) |
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=x^2\) và đường thẳng \(y=2x\).
| \(S=\dfrac{5}{3}\) |
| \(S=\dfrac{14}{3}\) |
| \(S=\dfrac{20}{3}\) |
| \(S=\dfrac{4}{3}\) |
Gọi tam giác cong \(OAB\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y=2x^2\), \(y=3-x\), \(y=0\) (như hình vẽ).
Tính diện tích \(S\) của tam giác cong \(OAB\).
| \(S=\dfrac{8}{3}\) |
| \(S=\dfrac{4}{3}\) |
| \(S=\dfrac{5}{3}\) |
| \(S=\dfrac{10}{3}\) |
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^2\), \(y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{3}\) và trục hoành như hình vẽ.
| \(\dfrac{7}{3}\) |
| \(\dfrac{56}{3}\) |
| \(\dfrac{39}{2}\) |
| \(\dfrac{11}{6}\) |
Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo (tam giác cong \(OAB\)) trong hình vẽ.
| \(\dfrac{5}{6}\) |
| \(\dfrac{5\pi}{6}\) |
| \(\dfrac{8}{15}\) |
| \(\dfrac{8\pi}{15}\) |
Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-4x$, $Ox$ và $x=0,\,x=2$.
| $S=9$ |
| $S=\dfrac{16}{3}$ |
| $S=\dfrac{32}{3}$ |
| $S=\dfrac{5}{3}$ |
Cho hàm số $f(x)=3x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ $(a,\,b,\,c,\,d\in\mathbb{R})$ có ba điểm cực trị là $-2,\,-1$ và $1$. Gọi $y=g(x)$ là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=f(x)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f(x)$ và $y=g(x)$ bằng
| $\dfrac{500}{81}$ |
| $\dfrac{36}{5}$ |
| $\dfrac{2932}{405}$ |
| $\dfrac{2948}{405}$ |
Một khung cửa kính hình parabol với đỉnh $M$ và cạnh đáy $AB$ như minh họa ở hình bên. Biết chi phí để lắp phần kính màu (phần tô đậm trong hình) là $200.000$ đồng/m$^2$ và phần kính trắng còn lại là $150.000$ đồng/m$^2$.
Cho $MN=AB=4$m và $MC=CD=DN$. Hỏi số tiền để lắp kính cho khung cửa như trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?
| $1.954.000$ đồng |
| $2.123.000$ đồng |
| $1.946.000$ đồng |
| $2.145.000$ đồng |
Cho hai hàm số $f(x)=mx^3+nx^2+px-\dfrac{5}{2}$ $(m,\,n,\,p\in\mathbb{R})$ và $g(x)=x^2+2x-1$ có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $-3$, $-1$, $1$ (tham khảo hình vẽ bên).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $f(x)$ và $g(x)$ bằng
| $\dfrac{9}{2}$ |
| $\dfrac{18}{5}$ |
| $4$ |
| $5$ |
Cho hàm số $y=x^4-4x^2+m$. Tìm $m$ để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại $4$ điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị với trục hoành có diện tích phần phía trên trục hoành bằng diện tích phần phía dưới trục hoành. Khi đó $m=\dfrac{a}{b}$ với $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a+2b$.
| $37$ |
| $38$ |
| $0$ |
| $29$ |
Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y=-2x^3+x^2+x+5$ và $y=x^2-x+5$ bằng
| $S=\pi$ |
| $S=\dfrac{1}{2}$ |
| $S=0$ |
| $S=1$ |
Đường thẳng nào sau đây tiếp xúc với parabol $\left(\mathscr{P}\right)\colon y=2x^2-5x+3$?
| $y=x+2$ |
| $y=-x-1$ |
| $y=x+3$ |
| $y=-x+1$ |