Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm là hàm số \(f'(x)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 | \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=-f'(x)+C\) |
 | \(\displaystyle\int f'(x)\mathrm{\,d}x=-f(x)+C\) |
 | \(\displaystyle\int f'(x)\mathrm{\,d}x=f(x)+C\) |
 | \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=f'(x)+C\) |
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
| \(\displaystyle\int\left[f(x)\cdot g(x)\right]\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x \cdot\displaystyle\int g(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int0\mathrm{\,d}x=0\) |
| \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=f'(x)+C\) |
| \(\displaystyle\int f'(x)\mathrm{\,d}x=f(x)+C\) |
Phát biểu nào sau đây đúng?
| Hàm số $y=f(x)$ đạt cực trị tại $x_0$ khi và chỉ khi $x_0$ là nghiệm của đạo hàm |
| Nếu $f'\big(x_0\big)=0$ và $f''\big(x_0\big)>0$ thì hàm số đạt cực đại tại $x_0$ |
| Nếu $f'\big(x_0\big)=0$ và $f''\big(x_0\big)=0$ thì $x_0$ không phải là cực trị của hàm số $y=f(x)$ đã cho |
| Nếu $f'(x)$ đổi dấu khi $x$ qua điểm $x_0$ và $y=f(x)$ liên tục tại $x_0$ thì hàm số $y=f(x)$ đạt cực trị tại điểm $x_0$ |
Khẳng định nào sau đây sai?
| $\displaystyle\displaystyle\int\sin x\mathrm{\,d}x=-\cos x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int a^x\mathrm{\,d}x=a^x\ln{a}+C,\,\left(a>0,\,a\ne1\right)$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^2x}\mathrm{\,d}x=\tan{x}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\mathrm{\,d}x=\ln\left|x\right|+C$ |
Cho $F(x)=x+\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
| $f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-\cos x$ |
| $f(x)=1-\sin x$ |
| $f(x)=1+\sin x$ |
| $f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+\sin x$ |
Cho $u=u(x)$ và $v=v(x)$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
| $(u.v)^{\prime}=u'.v-u.v'$ |
| $(u.v)^{\prime}=u'.v'$ |
| $(u+v)^{\prime}=u'.v+u.v'$ |
| $(u.v)^{\prime}=u'.v+u.v'$ |
Cho $u=u(x)$, $v=v(x)$ và $k$ là hằng số. Mệnh đề nào sau đây là sai?
| $(k.u)^{\prime}=k.u'$ |
| $\left(\dfrac{1}{v}\right)^{\prime}=-\dfrac{1}{v^2}$ |
| $\left(u^n\right)^{\prime}=n.u^{n-1}.u'$ |
| $\left(\sqrt{u}\right)^{\prime}=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ |
Mệnh đề nào sau đây là sai?
| $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$ |
| $(\sin x)^{\prime}=-\cos x$ |
| $(\cot x)^{\prime}=-\dfrac{1}{\sin^2x}$ |
| $(\tan x)^{\prime}=\dfrac{1}{\cos^2x}$ |
Cho hàm số $f(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\tan x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\cot x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=-\cot x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=-\tan x+C$ |
Cho biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Biểu thức $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $F(x)$ |
| $F(x)+C$ |
| $F'(x)+C$ |
| $xF(x)+C$ |
Cho các số thực $a,\,b$ ($a< b$) và hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=f'(a)-f'(b)$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f'(x)\mathrm{\,d}x=f(b)-f(a)$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=f'(b)-f'(a)$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f'(x)\mathrm{\,d}x=f(a)-f(b)$ |
Hàm số $y=\cot x$ có đạo hàm là
| $y'=-\dfrac{1}{\cos^2x}$ |
| $y'=-\dfrac{1}{\sin^2x}$ |
| $y'=\tan x$ |
| $y'=\dfrac{1}{\sin^2x}$ |
Hàm số $y=\cos x$ có đạo hàm là
| $y'=\sin x$ |
| $y'=\dfrac{1}{\sin x}$ |
| $y'=-\cos x$ |
| $y'=-\sin x$ |
Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $\left(a;b\right)$, $x_0\in\left(a;b\right)$. Đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm $x_0$ là
| $f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{\Delta y\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ |
| $f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ |
| $f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ |
| $f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\Delta x}{\Delta y}$ |
Với mọi $x\neq0$ hàm số $g(x)=3x^2+\dfrac{1}{x^2}+3$ là đạo hàm của hàm số nào?
| $f(x)=x^3+\dfrac{1}{x}+3x+2$ |
| $f(x)=x^3+\dfrac{1}{2x}+3x$ |
| $f(x)=x^3-\dfrac{1}{x}+3x+1$ |
| $f(x)=3x^3-\dfrac{1}{x}+3x$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime}(x)=12x^2+2$, $\forall x\in\mathbb{R}$ và $f(1)=3$. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=2$, khi đó $F(1)$ bằng
| $-3$ |
| $1$ |
| $2$ |
| $7$ |
Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus\left\{0;-1\right\}$ thỏa mãn điều kiện $f\left(1\right)=-2\ln2$ và $x\left(x+1\right)\cdot f'\left(x\right)+f\left(x\right)=x^2+x$. Giá trị $f\left(2\right)=a+b\ln3$, với $a,\,b\in\mathbb{Q}$. Tính $a^2+b^2$.
Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn $f'\left(x\right)=3-5\cos x$ và $f\left(0\right)=5$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
| $f\left(x\right)=3x+5\sin x+2$ |
| $f\left(x\right)=3x-5\sin x-5$ |
| $f\left(x\right)=3x-5\sin x+5$ |
| $f\left(x\right)=3x+5\sin x+5$ |
Nguyên hàm $\displaystyle\displaystyle\int\sin x\mathrm{d}x$ là
| $-\cos x+C$ |
| $\cos x+C$ |
| $\dfrac{1}{2}\cos2x+C$ |
| $-\cos2x+C$ |
Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm $f'\left(x\right)=2x+4$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Hàm số $2f\left(x\right)$ có đạo hàm là
| $4x+8$ |
| $4x+4$ |
| $x+2$ |
| $2x+6$ |