Trong không gian cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ tạo với nhau một góc $60^\circ$, $\left|\overrightarrow{u}\right|=2$ và $\left|\overrightarrow{v}\right|=3$. Tích vô hướng $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}$ bằng
 | $3$ |
 | $6$ |
 | $2$ |
 | $3\sqrt{3}$ |
Trong không gian \(Oxyz\) cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)\), \(\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)\). Chọn câu đúng trong các câu sau:
| \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\) |
| \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(b_1-a_1;b_2-a_2;b_3-a_3\right)\) |
| \(k\overrightarrow{b}=\left(ka_1;ka_2;ka_3\right),\,k\in\mathbb{R}\) |
| \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(a_2-b_2;a_1-b_1;a_3-b_3\right)\) |
Cho vectơ \(\vec{a}\). Khi đó \(\vec{a}^2\) bằng
| \(\left|\vec{a}\right|^2\) |
| \(a^2\) |
| \(\overrightarrow{a^2}\) |
| \(\left|a\right|^2\) |
Cho hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\). Đẳng thức nào sau đây đúng?
| \(\sqrt{\left(\vec{a}\right)^2}=\vec{a}\) |
| \(\vec{a}=\pm\left|\vec{a}\right|\) |
| \(\sqrt{\left(\vec{a}\right)^2}=\left|\vec{a}\right|\) |
| \(\left|\vec{a}\cdot\vec{b}\right|=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\) |
Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\overrightarrow{a}=-3\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là
| $(0;-4;3)$ |
| $(-3;0;4)$ |
| $(0;3;4)$ |
| $(0;-3;4)$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, $AB=AC=a$ và $SA=SB=SC=a$. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{SC}$.
| $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{SC}=-\dfrac{a^2}{2}$ |
| $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{SC}=\dfrac{a^2}{2}$ |
| $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{SC}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}$ |
| $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{SC}=-\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}$ |
Cho 2 vectơ $\overrightarrow{u},\,\overrightarrow{v}$ có $\big|\overrightarrow{u}\big|=2$, $\big|\overrightarrow{v}\big|=5$ và $\big(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\big)=30^\circ$. Tính $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}$.
| $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=5\sqrt{2}$ |
| $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=5$ |
| $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=10$ |
| $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=5\sqrt{3}$ |
Trong không gian $Oxyz$, các véctơ đơn vị trên các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt là $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$, cho điểm $M\left(2;-1; 1\right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
| $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{k}+\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{i}$ |
| $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{k}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{i}$ |
| $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$ |
| $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$ |
Trong không gian, với $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ là ba vectơ bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?
| $\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$ |
| $\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$ |
| $\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$ |
| $\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$ |
Trong không gian, cho hình bình hành $ABCD$. Vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ bằng
| $\overrightarrow{AC}$ |
| $\overrightarrow{BC}$ |
| $\overrightarrow{BD}$ |
| $\overrightarrow{CA}$ |
Trong không gian $Oxyz$, vectơ $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$ có tọa độ là
| $(1;3;2)$ |
| $(1;-3;2)$ |
| $(1;2;3)$ |
| $(0;-3;2)$ |
Trong mặt phẳng $Oxy$, vectơ $\overrightarrow{a}=-9\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}$ có tọa độ là
| $(4;-9)$ |
| $\left(-9\overrightarrow{i};4\overrightarrow{j}\right)$ |
| $(-9;4)$ |
| $\left(-\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$ |
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho vectơ $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{j}-5\overrightarrow{i}$. Tọa độ của $\overrightarrow{u}$ là
| $\overrightarrow{u}=(-5;2)$ |
| $\overrightarrow{u}=(2;-5)$ |
| $\overrightarrow{u}=(5;2)$ |
| $\overrightarrow{u}=(2;5)$ |
Phép vị tự tâm $O$ tỉ số $-3$ lần lượt biến hai điểm $A,\,B$ thành hai điểm $C,\,D$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
| $\overrightarrow{AC}=-3\overrightarrow{BD}$ |
| $3\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ |
| $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{CD}$ |
| $\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CD}$ |
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(3;0;1\right)\), \(\overrightarrow{b}=\left(1;-1;-2\right)\), \(\overrightarrow{c}=\left(2;1;-1\right)\). Tính \(T=\overrightarrow{a}\cdot\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\).
| \(T=3\) |
| \(T=6\) |
| \(T=0\) |
| \(T=9\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow{u}=(1;2;3)\) và \(\overrightarrow{v}=(-5;1;1)\). Khẳng định nào đúng?
| \(\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{v}\right|\) |
| \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}\) |
| \(\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v}\) |
| \(\overrightarrow{u}\) cùng phương với \(\overrightarrow{v}\) |
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}=(1;2;-2)\), \(\overrightarrow{b}=(-4;0;1)\) và \(\overrightarrow{c}=(0;3;3)\). Tính \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}\).
| \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\cdot{\overrightarrow{c}}=3\) |
| \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\cdot{\overrightarrow{c}}=9\) |
| \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\cdot{\overrightarrow{c}}=0\) |
| \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\cdot{\overrightarrow{c}}=-10\) |
Cho mặt phẳng \(\left(P\right)\colon2x-3z-1=0\). Khi đó \(\left(P\right)\) có một vectơ pháp tuyến là
| \(\overrightarrow{n}=\left(2;-3;1\right)\) |
| \(\overrightarrow{n}=\left(2;-3;0\right)\) |
| \(\overrightarrow{n}=\left(2;0;-3\right)\) |
| \(\overrightarrow{n}=\left(2;-3;-1\right)\) |
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\) cho \(A\left(x_A;y_A;z_A\right)\), \(B\left(x_B;y_B;z_B\right)\). Công thức nào dưới đây là đúng.
| \(\overrightarrow{AB}=\left(x_A-x_B;y_A-y_B;z_A-z_B\right)\) |
| \(\overrightarrow{BA}=\left(x_A+x_B;y_A+y_B;z_A+z_B\right)\) |
| \(AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}\) |
| \(\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2\) |
Cho \(\vec{m}=(1;0;-1)\), \(\vec{n}=(0;1;1)\). Kết luận nào sai?
| Góc của \(\vec{m}\) và \(\vec{n}\) là \(30^\circ\) |
| \(\left[\vec{m},\vec{n}\right]=(1;-1;1)\) |
| \(\vec{m}\cdot\vec{n}=-1\) |
| \(\vec{m}\) và \(\vec{n}\) không cùng phương |