Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi cho hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x+2}$, $Ox$, $x=1$ quay xung quanh trục $Ox$ là
 | $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{1}(x+2)\mathrm{d}x$ |
 | $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{4}\sqrt[4]{x+2}\mathrm{d}x$ |
 | $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{1}\sqrt{x+2}\mathrm{d}x$ |
 | $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{4}(x+2)\mathrm{d}x$ |
Cho hình phẳng \((D)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x}\), hai đường thẳng \(x=1\), \(x=2\) và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \((D)\) quanh trục hoành.
| \(3\pi\) |
| \(\dfrac{3}{2}\) |
| \(\dfrac{3\pi}{2}\) |
| \(\dfrac{2\pi}{3}\) |
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi ba đường \(y=\sqrt{x}\), \(y=2-x\) và \(y=0\) quanh trục \(Ox\).
| \(\dfrac{3\pi}{2}\) |
| \(\dfrac{5\pi}{6}\) |
| \(\pi\) |
| \(\dfrac{2\pi}{3}\) |
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(D\) giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x-1}\), trục hoành, \(x=2\) và \(x=5\) quanh trục \(Ox\) bằng
| \(\displaystyle\int\limits_{2}^{5}(x-1)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{2}^{5}\sqrt{x-1}\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{2}^{5}(x-1)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi^2\displaystyle\int\limits_{2}^{5}(x-1)\mathrm{\,d}x\) |
Tính thể tích \(V\) của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \((H)\) giới hạn bởi các đường \(y=x^2\) và \(y=\sqrt{x}\) quanh trục \(Ox\).
| \(V=\dfrac{3\pi}{10}\) |
| \(V=\dfrac{\pi}{10}\) |
| \(V=\dfrac{7\pi}{10}\) |
| \(V=\dfrac{9\pi}{10}\) |
Gọi \((H)\) là hình phẳng tạo bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x^3-x^2-2x}\) và trục hoành. Khi cho \((H)\) quay quanh trục hoành, ta được khối tròn xoay có thể tích là
| \(\dfrac{13\pi}{6}\) |
| \(\dfrac{9\pi}{4}\) |
| \(\dfrac{5\pi}{12}\) |
| \(\dfrac{8\pi}{3}\) |
Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y=\sqrt{x}\), đường thẳng \(y=2-x\) và trục hoành (phần gạch chéo trong hình vẽ).
Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng trên khi quay quanh trục \(Ox\) bằng
| \(\dfrac{5\pi}{4}\) |
| \(\dfrac{4\pi}{3}\) |
| \(\dfrac{7\pi}{6}\) |
| \(\dfrac{5\pi}{6}\) |
Cho hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đường cong \(y=\sqrt{2+\cos x}\), trục hoành và các đường thẳng \(x=0\), \(x=\dfrac{\pi}{2}\). Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành.
| \(V=\pi-1\) |
| \(V=\pi+1\) |
| \(V=\pi(\pi-1)\) |
| \(V=\pi(\pi+1)\) |
Thể tích khối tròn xoay có được khi quay quanh trục \(Ox\) hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x}\), \(y=0\), \(x=0\), \(x=1\) bằng
| \(V=\dfrac{\pi}{2}\) |
| \(V=\dfrac{2\pi}{3}\) |
| \(V=\dfrac{2}{3}\) |
| \(V=\dfrac{1}{2}\) |
Viết công thức tính thể tích \(V\) của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x=0\) và \(x=\ln4\), bị cắt bởi một mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ \(x\in(0;\ln4)\), có thiết diện là một hình vuông cạnh \(\sqrt{x\mathrm{e}^x}\).
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{\ln4}x\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\displaystyle\int\limits_{0}^{\ln4}\sqrt{x\mathrm{e}^x}\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\displaystyle\int\limits_{0}^{\ln4}x\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{\ln4}\left[x\mathrm{e}^x\right]^2\mathrm{\,d}x\) |
Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn $f\left(2\right)=25$ và $f'\left(x\right)=4x\sqrt{f\left(x\right)}$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Khi đó $\displaystyle\displaystyle\int\limits_2^3f\left(x\right)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $\dfrac{1073}{15}$ |
| $\dfrac{458}{15}$ |
| $\dfrac{838}{15}$ |
| $\dfrac{1016}{15}$ |
Tính thể tích $V$ của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0,\,x=\pi$. Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\,(0\leq x\leq\pi)$ là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $\sin x+2$.
| $\dfrac{7\pi}{6}+1$ |
| $\dfrac{9\pi}{8}+1$ |
| $\dfrac{7\pi}{6}+2$ |
| $\dfrac{9\pi}{8}+2$ |
Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay khi cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2x-x^2$, trục $Ox$ quay quanh $Ox$.
| $V=\dfrac{8\pi}{15}$ |
| $V=\dfrac{32\pi}{15}$ |
| $V=\dfrac{4\pi}{3}$ |
| $V=\dfrac{16\pi}{15}$ |
Trong không gian, cắt vật thể bởi hai mặt phẳng $(P)\colon x=-1$ và $(Q)\colon x=2$. Biết một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($-1\leq x\leq2$) cắt theo thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $6-x$. Thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $(P),\,(Q)$ bằng
| $\dfrac{33}{2}\pi$ |
| $93\pi$ |
| $\dfrac{33}{2}$ |
| $93$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ ($a< b$). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành được tính theo công thức
| $V=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left|f(x)\right|\mathrm{\,d}x$ |
| $V=\pi^2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $V=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $V=\pi^2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{\,d}x$ |
Một thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy bằng $80$ (cm). Đường sinh của mặt xung quanh thùng là một phần đường tròn có bán kính bằng $60$ (cm) (tham khảo hình minh họa bên).
Hỏi thùng đó có thể đựng bao nhiêu lít rượu? (làm tròn đến hàng đơn vị)
| $771$ |
| $385$ |
| $603$ |
| $905$ |
Cho $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\dfrac{2}{3}\left(\sqrt{a}-b\right)$ với $a$, $b$ là các số dương. Giá trị của biểu thức $T=a+b$ là
| $10$ |
| $7$ |
| $6$ |
| $8$ |
Cho hình phẳng $A$ giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=\sqrt{x}$ và $y=\dfrac{1}{2}x$ (phần tô đậm trong hình vẽ).
Tính thể tích $V$ khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $A$ xung quanh trục $Ox$.
| $V=\dfrac{8}{3}\pi$ |
| $V=\dfrac{8}{5}\pi$ |
| $V=0,533$ |
| $V=0,53\pi$ |
Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi các đường $y=x+2$, $y=0$, $x=1$ và $x=3$. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $D$ xung quanh trục $Ox$.
| $V=\dfrac{98}{3}$ |
| $V=8\pi$ |
| $V=\dfrac{98\pi}{3}$ |
| $V=\dfrac{98\pi^2}{3}$ |
Biết $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1x\sqrt{x^2+4}\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{a}\left(\sqrt{b^3}-c\right)$. Tính $Q=abc$.
| $Q=120$ |
| $Q=15$ |
| $Q=-120$ |
| $Q=40$ |