Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ thỏa mãn $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x-1}$, $f(3)=2021$. Tính $f(5)$.
 | $f(5)=2020-\dfrac{1}{2}\ln2$ |
 | $f(5)=2021-\ln2$ |
 | $f(5)=2021+\ln2$ |
 | $f(5)=2020+\ln2$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime}(x)=12x^2+2$, $\forall x\in\mathbb{R}$ và $f(1)=3$. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=2$, khi đó $F(1)$ bằng
| $-3$ |
| $1$ |
| $2$ |
| $7$ |
Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\dfrac{1}{2x+3}$ và $F(0)=0$. Tính $F(2)$.
| $F(2)=\ln\dfrac{7}{3}$ |
| $F(2)=-\dfrac{1}{2}\ln3$ |
| $F(2)=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{7}{3}$ |
| $F(2)=\ln21$ |
Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$ và $F(2)=1$. Tính $F(3)$.
| $F(3)=\dfrac{7}{4}$ |
| $F(3)=\ln2+1$ |
| $F(3)=\dfrac{1}{2}$ |
| $F(3)=\ln2-1$ |
Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f'(x)=x\mathrm{e}^x\) và \(f(0)=2\). Tính \(f(1)\).
| \(f(1)=8-2\mathrm{e}\) |
| \(f(1)=\mathrm{e}\) |
| \(f(1)=3\) |
| \(f(1)=5-2\mathrm{e}\) |
Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\dfrac{1}{2x+1}\), biết \(F(0)=2\). Tính \(F(1)\).
| \(F(1)=\dfrac{1}{2}\ln3+2\) |
| \(F(1)=\ln3+2\) |
| \(F(1)=2\ln3-2\) |
| \(F(1)=\dfrac{1}{2}\ln3-2\) |
\(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\cot x\) và \(F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\). Giá trị của \(F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\) bằng
| \(-\ln\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) |
| \(\ln\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) |
| \(\ln2\) |
| \(-\ln2\) |
Một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x+2}\) thỏa \(F(0)=-\ln3\) là
| \(\ln\left(\mathrm{e}^x+2\right)+\ln3\) |
| \(\ln\left(\mathrm{e}^x+2\right)+2\ln3\) |
| \(\ln\left(\mathrm{e}^x+2\right)-\ln3\) |
| \(\ln\left(\mathrm{e}^x+2\right)-2\ln3\) |
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) có \(f\left(3\right)=3\) và \(f'\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1-\sqrt{x+1}}\), \(\forall x>0\). Khi đó \(\displaystyle\int\limits_3^8f\left(x\right)\mathrm{\,d}x\) bằng
| \(7\) |
| \(\dfrac{197}{6}\) |
| \(\dfrac{29}{2}\) |
| \(\dfrac{181}{6}\) |
Cho hàm số $f(x)=\begin{cases}2x+5 &\text{khi }x\ge1\\ 3x^2+4 &\text{khi }x< 1\end{cases}$. Giả sử $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(0)=2$. Giá trị của $F(-1)+2F(2)$ bằng
| $27$ |
| $29$ |
| $12$ |
| $33$ |
Tính nguyên hàm $\displaystyle\displaystyle\int\dfrac{\left(\ln x+2\right)\mathrm{d}x}{x\ln x}$ bằng cách đặt $t=\ln x$ ta được nguyên hàm nào sau đây?
| $\displaystyle\displaystyle\int\dfrac{t\mathrm{\,d}t}{t-2}$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int(t+2)\mathrm{\,d}t$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\left(1+\dfrac{2}{t}\right)\mathrm{\,d}t$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\dfrac{(t+2)\mathrm{\,d}t}{t^2}$ |
Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus\left\{0;-1\right\}$ thỏa mãn điều kiện $f\left(1\right)=-2\ln2$ và $x\left(x+1\right)\cdot f'\left(x\right)+f\left(x\right)=x^2+x$. Giá trị $f\left(2\right)=a+b\ln3$, với $a,\,b\in\mathbb{Q}$. Tính $a^2+b^2$.
Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn $f'\left(x\right)=3-5\cos x$ và $f\left(0\right)=5$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
| $f\left(x\right)=3x+5\sin x+2$ |
| $f\left(x\right)=3x-5\sin x-5$ |
| $f\left(x\right)=3x-5\sin x+5$ |
| $f\left(x\right)=3x+5\sin x+5$ |
Cho hàm số $f(x)$ thỏa $f(1)=\dfrac{1}{3}$ và $f'(x)=\big[xf(x)\big]^2$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Giá trị $f(2)$ bằng
| $\dfrac{2}{3}$ |
| $\dfrac{3}{2}$ |
| $\dfrac{16}{3}$ |
| $\dfrac{3}{16}$ |
Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin2x$ và $F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-1$. Tính $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$.
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{5}{4}$ |
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{4}-1$ |
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}-1$ |
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{5}{4}$ |
Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin2x$ và $F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1$. Tính $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$.
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=0$ |
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{3}{4}$ |
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$ |
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{5}{4}$ |
Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}\). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(g\left(x\right)=\left(x+1\right)\cdot f'\left(x\right)\) là
| \(\dfrac{x^2+2x-2}{2\sqrt{x^2+2}}+C\) |
| \(\dfrac{x-2}{\sqrt{x^2+2}}+C\) |
| \(\dfrac{x^2+x+2}{\sqrt{x^2+2}}+C\) |
| \(\dfrac{x+2}{2\sqrt{x^2+2}}+C\) |
Giả sử hàm số \(y=f(x)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \((0;+\infty)\) và thỏa mãn \(f(1)=1\), \(f(x)=f'(x)\cdot\sqrt{3x+1}\), với mọi \(x>0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
| \(3< f(5)<4\) |
| \(2< f(5)<3\) |
| \(1< f(5)<2\) |
| \(4< f(5)<5\) |
Biết \(F(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\dfrac{1}{x-1}\) và \(F(2)=1\). Khi đó \(F(3)\) bằng bao nhiêu?
| \(\ln\dfrac{3}{2}\) |
| \(\ln2+1\) |
| \(\ln2\) |
| \(\dfrac{1}{2}\) |
Gọi \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)=2x+\mathrm{e}^x\) thỏa mãn \(F(0)=2019\). Tính \(F(1)\).
| \(\mathrm{e}+2018\) |
| \(\mathrm{e}-2018\) |
| \(\mathrm{e}+2019\) |
| \(\mathrm{e}-2019\) |