Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f'(x)=x\mathrm{e}^x\) và \(f(0)=2\). Tính \(f(1)\).
 | \(f(1)=8-2\mathrm{e}\) |
 | \(f(1)=\mathrm{e}\) |
 | \(f(1)=3\) |
 | \(f(1)=5-2\mathrm{e}\) |
Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\mathrm{e}^{3x}\) thỏa \(F(0)=1\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
| \(F(x)=\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}+\dfrac{2}{3}\) |
| \(F(x)=\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}+1\) |
| \(F(x)=\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}\) |
| \(F(x)=-\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}+\dfrac{4}{3}\) |
Một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x+2}\) thỏa \(F(0)=-\ln3\) là
| \(\ln\left(\mathrm{e}^x+2\right)+\ln3\) |
| \(\ln\left(\mathrm{e}^x+2\right)+2\ln3\) |
| \(\ln\left(\mathrm{e}^x+2\right)-\ln3\) |
| \(\ln\left(\mathrm{e}^x+2\right)-2\ln3\) |
Biết \(\displaystyle\int(x+3)\cdot\mathrm{e}^{-3x+1}\mathrm{\,d}x=-\dfrac{1}{m}\mathrm{e}^{-3x+1}(3x+n)+C\) với \(m,\,n\) là các số nguyên. Tính tổng \(S=m+n\).
| \(10\) |
| \(1\) |
| \(9\) |
| \(19\) |
Gọi \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)=2x+\mathrm{e}^x\) thỏa mãn \(F(0)=2019\). Tính \(F(1)\).
| \(\mathrm{e}+2018\) |
| \(\mathrm{e}-2018\) |
| \(\mathrm{e}+2019\) |
| \(\mathrm{e}-2019\) |
Cho hàm số $f(x)=\mathrm{e}^x+2x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x+x^2+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x-x^2+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x+2x^2+C$ |
Cho hàm số $f(x)=\begin{cases}2x+5 &\text{khi }x\ge1\\ 3x^2+4 &\text{khi }x< 1\end{cases}$. Giả sử $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(0)=2$. Giá trị của $F(-1)+2F(2)$ bằng
| $27$ |
| $29$ |
| $12$ |
| $33$ |
Cho hàm số $f(x)=\mathrm{e}^x+2$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^{x-2}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x+2x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x-2x+C$ |
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ thỏa mãn $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x-1}$, $f(3)=2021$. Tính $f(5)$.
| $f(5)=2020-\dfrac{1}{2}\ln2$ |
| $f(5)=2021-\ln2$ |
| $f(5)=2021+\ln2$ |
| $f(5)=2020+\ln2$ |
Một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=3^x$ là
| $F(x)=3^x\ln3-2022$ |
| $F(x)=\dfrac{3^x}{\ln3}+2020x$ |
| $F(x)=\dfrac{3^x}{\ln3}+2021$ |
| $F(x)=3^x+2019$ |
Tính $\displaystyle\displaystyle\int\mathrm{e}^{2x-5}\mathrm{\,d}x$ ta được kết quả nào sau đây?
| $\dfrac{\mathrm{e}^{2x-5}}{-5}+C$ |
| $-5\mathrm{e}^{2x-5}+C$ |
| $\dfrac{\mathrm{e}^{2x-5}}{2}+C$ |
| $2\mathrm{e}^{2x-5}+C$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime}(x)=12x^2+2$, $\forall x\in\mathbb{R}$ và $f(1)=3$. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=2$, khi đó $F(1)$ bằng
| $-3$ |
| $1$ |
| $2$ |
| $7$ |
Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus\left\{0;-1\right\}$ thỏa mãn điều kiện $f\left(1\right)=-2\ln2$ và $x\left(x+1\right)\cdot f'\left(x\right)+f\left(x\right)=x^2+x$. Giá trị $f\left(2\right)=a+b\ln3$, với $a,\,b\in\mathbb{Q}$. Tính $a^2+b^2$.
Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=5^x$.
| $\displaystyle\displaystyle\int{f\left(x\right)\mathrm{d}x}=5^x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int{f\left(x\right)}\mathrm{d}x=5^x\ln5+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int{f\left(x\right)}\mathrm{d}x=\dfrac{5^x}{\ln5}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int{f\left(x\right)\mathrm{d}x}=\dfrac{5^{x+1}}{x+1}+C$ |
Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn $f'\left(x\right)=3-5\cos x$ và $f\left(0\right)=5$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
| $f\left(x\right)=3x+5\sin x+2$ |
| $f\left(x\right)=3x-5\sin x-5$ |
| $f\left(x\right)=3x-5\sin x+5$ |
| $f\left(x\right)=3x+5\sin x+5$ |
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\mathrm{e}^{3x}$ là
| $3\mathrm{e}^{x}+C$ |
| $\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{x}+C$ |
| $\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}+C$ |
| $3\mathrm{e}^{3x}+C$ |
Cho hàm số $f(x)$ thỏa $f(1)=\dfrac{1}{3}$ và $f'(x)=\big[xf(x)\big]^2$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Giá trị $f(2)$ bằng
| $\dfrac{2}{3}$ |
| $\dfrac{3}{2}$ |
| $\dfrac{16}{3}$ |
| $\dfrac{3}{16}$ |
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=x-\mathrm{e}^x$ là
| $x^2-\mathrm{e}^{x+1}+C$ |
| $\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{\mathrm{e}^{x+1}}{x+1}+C$ |
| $1-\mathrm{e}^x+C$ |
| $\dfrac{x^2}{2}-\mathrm{e}^x+C$ |
Biết $\displaystyle\displaystyle\int\left(3x^3+5x^4\right)\mathrm{\,d}x=Ax^\alpha+Bx^\beta+C$. Tính $P=A\alpha+B\beta$.
| $P=37$ |
| $P=4$ |
| $P=29$ |
| $P=8$ |
Tính $\displaystyle\displaystyle\int\limits3^{2018x}\mathrm{\,d}x$.
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits3^{2018x} \mathrm{\,d}x=\dfrac{3^{2018x}}{\ln3}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits3^{2018x} \mathrm{\,d}x=\dfrac{3^{2018x}}{\ln2018}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits3^{2018x} \mathrm{\,d}x=\dfrac{3^{2018x}}{2018\ln3}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits3^{2018x} \mathrm{\,d}x=\dfrac{3^{2019x}}{2019}+C$ |