Cho hình phẳng $A$ giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=\sqrt{x}$ và $y=\dfrac{1}{2}x$ (phần tô đậm trong hình vẽ).
Tính thể tích $V$ khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $A$ xung quanh trục $Ox$.
 | $V=\dfrac{8}{3}\pi$ |
 | $V=\dfrac{8}{5}\pi$ |
 | $V=0,533$ |
 | $V=0,53\pi$ |
Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$. Thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $D$ xung quanh trục $Ox$ được tính theo công thức nào dưới đây?
| $V=\pi^2\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $V=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b f^2(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $V=\left(\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x\right)^2$ |
| $V=2\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b f^2(x)\mathrm{\,d}x$ |
Cho hình phẳng $\mathscr{D}$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2x-x^2$ và trục $Ox$. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay $\mathscr{D}$ quanh trục $Ox$ bằng
| $\dfrac{256\pi}{15}$ |
| $\dfrac{64\pi}{15}$ |
| $\dfrac{16\pi}{15}$ |
| $\dfrac{4\pi}{3}$ |
Kí hiệu \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y=x^2-ax\) với trục hoành (\(a\neq0\)). Quay hình \((H)\) xung quanh trục hoành ta thu được khối tròn xoay có thể tích \(V=\dfrac{16\pi}{15}\). Tìm \(a\).
| \(a=-2\) |
| \(a=-3\) |
| \(a=\pm2\) |
| \(a=2\) |
Cho hình phẳng \((D)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x}\), hai đường thẳng \(x=1\), \(x=2\) và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \((D)\) quanh trục hoành.
| \(3\pi\) |
| \(\dfrac{3}{2}\) |
| \(\dfrac{3\pi}{2}\) |
| \(\dfrac{2\pi}{3}\) |
Cho hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=2x^2+3x\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x=0,\,x=1\). Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\).
| \(V=\dfrac{13}{6}\) |
| \(V=\dfrac{13\pi}{6}\) |
| \(V=\dfrac{34\pi}{5}\) |
| \(V=\dfrac{34}{5}\) |
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi ba đường \(y=\sqrt{x}\), \(y=2-x\) và \(y=0\) quanh trục \(Ox\).
| \(\dfrac{3\pi}{2}\) |
| \(\dfrac{5\pi}{6}\) |
| \(\pi\) |
| \(\dfrac{2\pi}{3}\) |
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(D\) giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x-1}\), trục hoành, \(x=2\) và \(x=5\) quanh trục \(Ox\) bằng
| \(\displaystyle\int\limits_{2}^{5}(x-1)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{2}^{5}\sqrt{x-1}\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{2}^{5}(x-1)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi^2\displaystyle\int\limits_{2}^{5}(x-1)\mathrm{\,d}x\) |
Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol \((P)\colon y=x^2\) và đường thẳng \(d\colon y=x\) xoay quanh trục \(Ox\) bằng
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}x^2\mathrm{\,d}x-\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}x^4\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}x^2\mathrm{\,d}x+\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}x^4\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left(x^2-x\right)^2\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left(x^2-x\right)\mathrm{\,d}x\) |
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y=x^2-2x\), \(y=0\), \(x=-1\), \(x=2\) quanh trục \(Ox\) bằng
| \(\dfrac{16\pi}{5}\) |
| \(\dfrac{17\pi}{5}\) |
| \(\dfrac{18\pi}{5}\) |
| \(\dfrac{5\pi}{18}\) |
Tính thể tích \(V\) của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \((H)\) giới hạn bởi các đường \(y=x^2\) và \(y=\sqrt{x}\) quanh trục \(Ox\).
| \(V=\dfrac{3\pi}{10}\) |
| \(V=\dfrac{\pi}{10}\) |
| \(V=\dfrac{7\pi}{10}\) |
| \(V=\dfrac{9\pi}{10}\) |
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^2-2x\), \(y=0\), \(x=0\), \(x=1\) quanh trục hoành là
| \(\dfrac{8\pi}{15}\) |
| \(\dfrac{7\pi}{3}\) |
| \(\dfrac{15\pi}{8}\) |
| \(\dfrac{8\pi}{7}\) |
Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol \((P)\colon y=x^2\) và đường thẳng \(d\colon y=2x\) quay quanh trục \(Ox\).
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left(x^2-2x\right)^2\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2}4x^2\mathrm{\,d}x-\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2}x^4\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2}4x^2\mathrm{\,d}x+\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2}x^4\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left(2x-x^2\right)\mathrm{\,d}x\) |
Gọi \((H)\) là hình phẳng tạo bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x^3-x^2-2x}\) và trục hoành. Khi cho \((H)\) quay quanh trục hoành, ta được khối tròn xoay có thể tích là
| \(\dfrac{13\pi}{6}\) |
| \(\dfrac{9\pi}{4}\) |
| \(\dfrac{5\pi}{12}\) |
| \(\dfrac{8\pi}{3}\) |
Cho hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đường cong \(y=\mathrm{e}^x\), trục hoành và các đường thẳng \(x=0\), \(x=1\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành có thể tích \(V\) bằng
| \(V=\dfrac{\mathrm{e}^2-1}{2}\) |
| \(V=\dfrac{\pi\left(\mathrm{e}^2+1\right)}{2}\) |
| \(V=\dfrac{\pi\left(\mathrm{e}^2-1\right)}{2}\) |
| \(V=\dfrac{\pi\mathrm{e}^2}{2}\) |
Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y=\sqrt{x}\), đường thẳng \(y=2-x\) và trục hoành (phần gạch chéo trong hình vẽ).
Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng trên khi quay quanh trục \(Ox\) bằng
| \(\dfrac{5\pi}{4}\) |
| \(\dfrac{4\pi}{3}\) |
| \(\dfrac{7\pi}{6}\) |
| \(\dfrac{5\pi}{6}\) |
Gọi \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \((C)\colon y=\dfrac{4}{x}\) và đường thẳng \((d)\colon y=5-x\). Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình \((H)\) xung quanh trục hoành.
| \(V=51\pi\) |
| \(V=33\pi\) |
| \(V=9\pi\) |
| \(V=18\pi\) |
Cho hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đường cong \(y=\sqrt{2+\cos x}\), trục hoành và các đường thẳng \(x=0\), \(x=\dfrac{\pi}{2}\). Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành.
| \(V=\pi-1\) |
| \(V=\pi+1\) |
| \(V=\pi(\pi-1)\) |
| \(V=\pi(\pi+1)\) |
Gọi \(V\) là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sin x\), trục \(Ox\), trục \(Oy\) và đường thẳng \(x=\dfrac{\pi}{2}\) xung quanh trục \(Ox\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
| \(V=\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin^2x\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin x\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin^2x\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin x\mathrm{\,d}x\) |
Gọi \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=4^x\), \(y=0\), \(x=1\) và \(x=3\). Thể tích \(V\) của khối tròn xoay tạo thành khi quay \((H)\) quanh trục \(Ox\) được xác định bởi công thức
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{1}^{3}4^{2x}\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\displaystyle\int\limits_{1}^{3}4^{x+1}\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{1}^{3}4^{2x+1}\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\displaystyle\int\limits_{1}^{3}16^x\mathrm{\,d}x\) |