Biết \(\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{dx}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\dfrac{2}{3}\left(\sqrt{a}-b\right)\) với \(a,\,b\) là các số nguyên dương. Tính \(T=a+b\).
 | \(T=7\) |
 | \(T=10\) |
 | \(T=6\) |
 | \(T=8\) |
Cho \(\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{\left(\sin x\right)^2-5\sin x+6}\mathrm{\,d}x=a\ln\dfrac{4}{c}+b\), với \(a,\,b\) là các số hữu tỉ, \(c>0\). Tính tổng \(S=a+b+c\).
| \(S=3\) |
| \(S=4\) |
| \(S=0\) |
| \(S=1\) |
Biết \(\displaystyle\int\limits_1^2\dfrac{4\mathrm{\,d}x}{(x+4)\sqrt{x}+x\sqrt{x+4}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}-d\) với \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) là các số nguyên dương. Tính \(P=a+b+c+d\).
| \(48\) |
| \(46\) |
| \(54\) |
| \(52\) |
Biết \(I=\displaystyle\int\limits_1^2\dfrac{dx}{\left(2x+2\right)\sqrt{x}+2x\sqrt{x+1}}=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-c}{2}\) với \(a\), \(b\), \(c\) là các số nguyên dương. Tính \(P=a-b+c\).
| \(P=24\) |
| \(P=12\) |
| \(P=18\) |
| \(P=22\) |
Biết \(\displaystyle\int\limits_1^3\dfrac{\mathrm{\,d}x}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}=a\sqrt{3}+b\sqrt{2}+c\) với \(a\), \(b\), \(c\) là các số hữu tỷ. Tính \(P =a+b+c\).
| \(P=\dfrac{13}{2}\) |
| \(P=\dfrac{16}{3}\) |
| \(P=5\) |
| \(P=\dfrac{2}{3}\) |
Biết rằng $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{5}\dfrac{3}{x^2+3x}\mathrm{d}x=a\ln5+b\ln2$ $\left(a,\,b\in\mathbb{Z}\right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
| $a+2b=0$ |
| $2a-b=0$ |
| $a-b=0$ |
| $a+b=0$ |
Biết $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^1\left(\dfrac{9}{x-3}-\dfrac{7}{x-2}\right)\mathrm{\,d}x=a\ln{3}-b\ln{2}$. Tính giá trị $P=a^2+b^2$.
| $P=32$ |
| $P=130$ |
| $P=2$ |
| $P=16$ |
Biết $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1x\sqrt{x^2+4}\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{a}\left(\sqrt{b^3}-c\right)$. Tính $Q=abc$.
| $Q=120$ |
| $Q=15$ |
| $Q=-120$ |
| $Q=40$ |
Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\mathrm{\,d}x=a+b\sqrt{2}$ với $a,\,b\in\mathbb{Q}$. Khi đó $a-b$ bằng
| $4$ |
| $-4$ |
| $1$ |
| $-1$ |
Cho \(\displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{\sin x+1}\mathrm{\,d}x=a\ln2+b\ln3\) (\(a,\,b\in\mathbb{Z}\)). Khi đó, giá trị của \(a\cdot b\) là
| \(2\) |
| \(-2\) |
| \(-4\) |
| \(3\) |
Giả sử \(\displaystyle\int\limits_{3}^{5}\dfrac{\mathrm{d}x}{x^2-x}=a\ln5+b\ln3+c\ln2\). Tính giá trị biểu thức \(S=-2a+b+3c^2\).
| \(S=3\) |
| \(S=6\) |
| \(S=-2\) |
| \(S=0\) |
Biết \(\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}\mathrm{\,d}x=\dfrac{a}{b}\left(c-\sqrt{2}\right)\) với \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(a+b+c\).
| \(-1\) |
| \(7\) |
| \(3\) |
| \(1\) |
Cho \(a,\,b\) là các số thực thỏa mãn \(\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{2abx+a+b}{(1+ax)(1+bx)}\mathrm{\,d}x=0\). Giá trị của \(S=ab+a+b\) bằng
| \(\left[\begin{array}{l}S=0\\ S=1\end{array}\right.\) |
| \(\left[\begin{array}{l}S=-2\\ S=0\end{array}\right.\) |
| \(\left[\begin{array}{l}S=1\\ S=-2\end{array}\right.\) |
| \(\left[\begin{array}{l}S=-2\\ S=1\end{array}\right.\) |
Biết \(\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{x^3+2x^2+3}{x+2}\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{a}+b\ln\dfrac{3}{2}\) với \(a,\,b>0\). Tính giá trị của \(S=a+2b\).
| \(S=5\) |
| \(S=6\) |
| \(S=9\) |
| \(S=3\) |
Biết \(\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{3}}^1\dfrac{x-5}{2x+2}\mathrm{\,d}x=a+\ln b\) với \(a,\,b\in\mathbb{R}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
| \(ab=\dfrac{8}{81}\) |
| \(a+b=\dfrac{7}{24}\) |
| \(ab=\dfrac{9}{8}\) |
| \(a+b=\dfrac{3}{10}\) |
Cho $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\sqrt{ax^2-2x}+bx\right)=11$. Tính $Q=b-a$.
| $Q=\dfrac{17}{121}$ |
| $Q=\dfrac{5}{121}$ |
| $Q=-\dfrac{13}{121}$ |
| $Q=\dfrac{10}{121}$ |
Biết tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{2x+3}{2-x}\mathrm{d}x=a\ln2+b$ ($a,\,b\in\mathbb{Z}$), giá trị của $a$ bằng
| $7$ |
| $2$ |
| $3$ |
| $1$ |
Biết $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}(3x-1)\mathrm{e}^{\tfrac{x}{2}}\mathrm{\,d}x=a+b\mathrm{e}$ với $a,\,b$ là các số nguyên. Giá trị của $a+b$ bằng
| $12$ |
| $16$ |
| $6$ |
| $10$ |
Cho hàm số $y=x^4-4x^2+m$. Tìm $m$ để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại $4$ điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị với trục hoành có diện tích phần phía trên trục hoành bằng diện tích phần phía dưới trục hoành. Khi đó $m=\dfrac{a}{b}$ với $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a+2b$.
| $37$ |
| $38$ |
| $0$ |
| $29$ |
Đạo hàm của hàm số \(y=\dfrac{-x^2+3x-3}{2(x-1)}\) là biểu thức có dạng \(\dfrac{ax^2+bx}{2(x-1)^2}\). Khi đó, tích \(a\cdot b\) bằng
| \(-1\) |
| \(6\) |
| \(4\) |
| \(-2\) |