Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa $f(x)=\sin x+2\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos x\cdot f(x)\mathrm{\,d}x$. Giá trị $f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$ bằng
 | $-\pi$ |
 | $-1$ |
 | $-2$ |
 | $0$ |
Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(x)=x\mathrm{e}^x+\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left(f(x)+f'(x)-\mathrm{e}^x-1\right)\mathrm{\,d}x$. Tính tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x$.
| $2\mathrm{e}^2-1$ |
| $-2\mathrm{e}^2-1$ |
| $-2\mathrm{e}^2+1$ |
| $2\mathrm{e}^2+1$ |
Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{10}x\mathrm{e}^{30x}\mathrm{\,d}x$ bằng
| $\dfrac{1}{900}\left(299\mathrm{e}^{300}+1\right)$ |
| $300-900\mathrm{e}^{300}$ |
| $-300+900\mathrm{e}^{300}$ |
| $\dfrac{1}{900}\left(299\mathrm{e}^{300}-1\right)$ |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x)=3x^2-2x+3+4\displaystyle\int\limits_{0}^{1}xf\left(x^2\right)\mathrm{\,d}x$. Khi đó $\displaystyle\int\limits_{2}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $17$ |
| $11$ |
| $14$ |
| $21$ |
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x)=x^2-3x+2\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)f'(x)\mathrm{\,d}x$. Khi đó $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $\dfrac{10}{3}$ |
| $-\dfrac{10}{3}$ |
| $\dfrac{26}{15}$ |
| $-\dfrac{26}{15}$ |
Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[0;1]$ thỏa mãn $f(x)=x^3+\displaystyle\int\limits_{0}^{1}x^3f\left(x^2\right)\mathrm{\,d}x$, $\forall x\in[0;1]$. Tính tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x$.
| $\dfrac{1}{4}$ |
| $\dfrac{4}{15}$ |
| $\dfrac{13}{20}$ |
| $\dfrac{23}{60}$ |
Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $[0;+\infty)$ thỏa mãn $f(x)=x\sqrt{x}+\displaystyle\int\limits_{0}^{1}xf(x)\mathrm{\,d}x$. Tính tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{4}f(x)\mathrm{\,d}x$.
| $\dfrac{528}{35}$ |
| $\dfrac{488}{35}$ |
| $\dfrac{408}{35}$ |
| $\dfrac{368}{35}$ |
Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên khoảng $(0;+\infty)$ thỏa mãn $f(x)=\dfrac{1}{x}+\displaystyle\int\limits_{1}^{2}xf(x)\mathrm{\,d}x$, $\forall x\in(0;+\infty)$. Tính tích phân $\displaystyle\int\limits_{1}^{\mathrm{e}}f(x)\mathrm{\,d}x$.
| $\dfrac{5-2\mathrm{e}}{3}$ |
| $3-2\mathrm{e}$ |
| $2+2\mathrm{e}$ |
| $1-2\mathrm{e}$ |
Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[1;3]$, $F(1)=3$, $F(3)=5$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^3\left(x^4-8x\right)f(x)\mathrm{\,d}x=12$. Tính $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^3\left(x^3-2\right)F(x)\mathrm{\,d}x$.
| $I=\dfrac{147}{2}$ |
| $I=\dfrac{147}{3}$ |
| $I=-\dfrac{147}{2}$ |
| $I=147$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục, thỏa mãn $f(x)=x\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}-f'(x)\right)$, $\forall x\in(0;+\infty)$ và $f(4)=\dfrac{4}{3}$. Giá trị của $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{4}\left(x^2-1\right)f'(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $\dfrac{457}{15}$ |
| $\dfrac{457}{30}$ |
| $-\dfrac{263}{30}$ |
| $-\dfrac{263}{15}$ |
Biết $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}(3x-1)\mathrm{e}^{\tfrac{x}{2}}\mathrm{\,d}x=a+b\mathrm{e}$ với $a,\,b$ là các số nguyên. Giá trị của $a+b$ bằng
| $12$ |
| $16$ |
| $6$ |
| $10$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên khoảng $(0;+\infty)$. Biết $f(1)=1$ và $f(x)=xf'(x)+\ln x$, $\forall x\in(0;+\infty)$. Giá trị của $f(\mathrm{e})$ bằng
| $\mathrm{e}$ |
| $\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ |
| $1$ |
| $2$ |
Tính tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}x\left(\mathrm{e}^x-\dfrac{1}{x}\right)\mathrm{\,d}x\).
| \(I=\mathrm{e}^2-1\) |
| \(I=\mathrm{e}^2\) |
| \(I=\mathrm{e}^2+1\) |
| \(I=\mathrm{e}^2-2\) |
Tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}x\cdot2^x\mathrm{\,d}x\) bằng
| \(\dfrac{2\ln2-1}{\ln^22}\) |
| \(\dfrac{2\ln2-1}{\ln2}\) |
| \(\dfrac{2\ln2+1}{\ln^22}\) |
| \(\dfrac{2\ln2+1}{\ln2}\) |
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f(2)=16\), \(\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x=4\). Tính \(I=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}xf'(2x)\mathrm{\,d}x\).
| \(I=13\) |
| \(I=20\) |
| \(I=12\) |
| \(I=7\) |
Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f'(x)=x\mathrm{e}^x\) và \(f(0)=2\). Tính \(f(1)\).
| \(f(1)=8-2\mathrm{e}\) |
| \(f(1)=\mathrm{e}\) |
| \(f(1)=3\) |
| \(f(1)=5-2\mathrm{e}\) |
Biết rằng tích phân \(\displaystyle\int\limits_{0}^{1}(2x+1)\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x=a+b\mathrm{e}\) với \(a,\,b\in\mathbb{Z}\). Tích \(ab\) bằng
| \(1\) |
| \(-1\) |
| \(-15\) |
| \(20\) |
Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn $f\left(2\right)=25$ và $f'\left(x\right)=4x\sqrt{f\left(x\right)}$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Khi đó $\displaystyle\displaystyle\int\limits_2^3f\left(x\right)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $\dfrac{1073}{15}$ |
| $\dfrac{458}{15}$ |
| $\dfrac{838}{15}$ |
| $\dfrac{1016}{15}$ |
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $f(x)+2f(2-x)=x^2-6x+4$. Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^3x f^{\prime}(x)\mathrm{d}x$ bằng
| $20$ |
| $\dfrac{149}{3}$ |
| $\dfrac{167}{3}$ |
| $\dfrac{176}{9}$ |
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ thỏa mãn $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x-1}$, $f(3)=2021$. Tính $f(5)$.
| $f(5)=2020-\dfrac{1}{2}\ln2$ |
| $f(5)=2021-\ln2$ |
| $f(5)=2021+\ln2$ |
| $f(5)=2020+\ln2$ |