Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(-2;-2;1)$, $A(1;2;-3)$ và đường thẳng $d\colon\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-5}{2}=\dfrac{z}{-1}$. Gọi $\overrightarrow{u}=(1;a;b)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$, $\Delta$ vuông góc với đường thẳng $d$ đồng thời cách điểm $A$ một khoảng nhỏ nhất. Giá trị của $a+2b$ là
 | $1$ |
 | $2$ |
 | $3$ |
 | $4$ |
Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(1;2;-3)$, $M(-2;-2;1)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-5}{2}=\dfrac{z}{-1}$. Phương trình đường thẳng $d'$ đi qua $M$ và vuông góc với $d$ sao cho khoảng cách từ điểm $A$ đến $d'$ nhỏ nhất là
| $\begin{cases}x=-2+t\\ y=-2\\ z=1+t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=-2\\ y=-2+t\\ z=1+2t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=-2+t\\ y=-2-t\\ z=1\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=-2+t\\ y=-2\\ z=1+2t\end{cases}$ |
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A(1;2;3)\) và đường thẳng \(d\colon\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+7}{-2}\). Đường thẳng đi qua \(A\), vuông góc với \(d\) và cắt trục \(Ox\) có phương trình là
| \(\begin{cases}x=-1+2t\\ y=-2t\\ z=t\end{cases}\) |
| \(\begin{cases}x=1+t\\ y=2+2t\\ z=3+3t\end{cases}\) |
| \(\begin{cases}x=1+t\\ y=2+2t\\ z=3+2t\end{cases}\) |
| \(\begin{cases}x=-1+2t\\ y=2t\\ z=3t\end{cases}\) |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)\colon(x-1)^2+(y+2)^2+(z+1)^2=4$ và đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;0;-2)$, nhận $\overrightarrow{u}=(1;a;1-a)$ (với $a\in\mathbb{R}$) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng $d$ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của $(S)$ tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi $a^2$ thuộc khoảng nào dưới đây?
| $\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right)$ |
| $\left(\dfrac{3}{2};2\right)$ |
| $\left(7;\dfrac{15}{2}\right)$ |
| $\left(0;\dfrac{1}{4}\right)$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)\colon(x-3)^2+(y-2)^2+(z-6)^2=56$ và đường thẳng $\Delta\colon\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-5}{1}$. Biết rằng đường thẳng $\Delta$ cắt $(S)$ tại điểm $A\left(x_0;y_0;z_0\right)$ với $x_0>0$. Giá trị của $y_0+z_0-2x_0$ bằng
| $30$ |
| $-1$ |
| $9$ |
| $2$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-1)$, đường thẳng $d\colon\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ và mặt phẳng $(P)\colon x+y+2z+1=0$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua $A$, vuông góc và cắt đường thẳng $d$. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$.
| $(0;3;-2)$ |
| $(6;-7;0)$ |
| $(3;-2;-1)$ |
| $(-3;8;-3)$ |
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left(S\right)\colon\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=9\) và \(M\left(x_0;y_0;z_0\right)\in\left(S\right)\) sao cho \(A=x_0+2y_0+2z_0\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \(x_0+y_0+z_0\) bằng
| \(2\) |
| \(-1\) |
| \(-2\) |
| \(1\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P)\colon x+2y+z-4=0\) và đường thẳng \(d\colon\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{3}\). Đường thẳng \(\Delta\) nằm trong mặt phẳng \((P)\) đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là
| \(\Delta\colon\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{3}\) |
| \(\Delta\colon\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{2}\) |
| \(\Delta\colon\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{-3}\) |
| \(\Delta\colon\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{-3}\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M(1;-3;4)\), đường thẳng \(d\colon\dfrac{x+3}{3}=\dfrac{y-5}{-5}=\dfrac{z-2}{-1}\) và mặt phẳng \((P)\colon2x+z-2=0\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(M\), vuông góc với \(d\) và song song với \((P)\).
| \(\Delta\colon\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z-4}{-2}\) |
| \(\Delta\colon\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z-4}{-2}\) |
| \(\Delta\colon\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{1}=\dfrac{z-4}{-2}\) |
| \(\Delta\colon\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z-4}{2}\) |
Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;-1)$, $B(3;0;1)$ và $C(2;2;-2)$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình là
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z+1}{3}$ |
| $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-1}{1}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-1}{-1}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+1}{1}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;-3;-2)$ và mặt phẳng $(P)\colon x-2y-3z+4=0$. Đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình là
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z+2}{-3}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z+2}{-3}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z+2}{-3}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z+2}{3}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(-1;3;2)$ và mặt phẳng $(P)\colon x-2y+4z+1=0$. Đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình là
| $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z-2}{1}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z+2}{4}$ |
| $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z-2}{4}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2;-5;3)$ và đường thẳng $d\colon\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-3}{-1}$. Mặt phẳng đi qua $M$ và vuông góc với $d$ có phương trình là
| $2x-5y+3z-38=0$ |
| $2x+4y-z+19=0$ |
| $2x+4y-z-19=0$ |
| $2x+4y-z+11=0$ |
Trong không gian $Oxyz$, phương trình đường thẳng đi qua điểm $A(3;1;-1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)\colon2x-y+2z-5=0$ là
| $\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{2}$ |
| $\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ |
| $\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+1}{2}$ |
| $\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+1}{2}$ |
Trong không gian $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(1;2;-3)$ và vuông góc mặt phẳng $(P)\colon3x-y+5z+2=0$?
| $\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z-3}{5}$ |
| $\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+5}{-3}$ |
| $\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z+5}{3}$ |
| $\dfrac{x-1}{-3}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+3}{-5}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $P(3;1;3)$ và đường thẳng $d\colon\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y+4}{3}=\dfrac{z-2}{3}$. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm $P$ và vuông góc với đường thẳng $d$?
| $x-4y+3z+3=0$ |
| $x+3y+3z-3=0$ |
| $3x+y+3z-15=0$ |
| $x+3y+3z-15=0$ |
Trong không gian $Oxyz$, phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(1;1;-2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)\colon x-y-z-1=0$ là
| $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-2}{-1}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+2}{-2}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+2}{-1}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+1}{-2}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)\colon2x+2y-z-3=0$ và hai đường thẳng $d_1\colon\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+1}{-2}$, $d_2\colon\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+1}{-1}$. Đường thẳng vuông góc với $(P)$, đồng thời cắt cả $d_1$ và $d_2$ có phương trình là
| $\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+2}{-1}$ |
| $\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+1}{-2}$ |
| $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z+1}{-1}$ |
| $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$ |
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left(2;-2;3\right)\) và đường thẳng \(d\colon\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-3}{-1}\). Mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(d\) có phương trình là
| \(3x+2y-z+1=0\) |
| \(2x-2y+3z-17=0\) |
| \(3x+2y-z-1=0\) |
| \(2x-2y+3z+17=0\) |
Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \(\left(S\right)\colon x^2+y^2+z^2-6x+4y-2z+5=0\) và mặt phẳng \(\left(P\right)\colon x+2y+2z+11=0\). Tìm điểm \(M\) trên mặt cầu \(\left(S\right)\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến \(\left(P\right)\) là ngắn nhất.
| \(M\left(0;0;1\right)\) |
| \(M\left(2;-4;-1\right)\) |
| \(M\left(4;0;3\right)\) |
| \(M\left(0;-1;0\right)\) |