Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(f'(x)=x+\sin x\) và \(f(0)=1\). Tìm \(f(x)\).
 | \(f(x)=\dfrac{x^2}{2}-\cos x+2\) |
 | \(f(x)=\dfrac{x^2}{2}-\cos x-2\) |
 | \(f(x)=\dfrac{x^2}{2}+\cos x\) |
 | \(f(x)=\dfrac{x^2}{2}+\cos x+\dfrac{1}{2}\) |
Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin2x$ và $F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-1$. Tính $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$.
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{5}{4}$ |
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{4}-1$ |
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}-1$ |
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{5}{4}$ |
Biết rằng $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin(1-2x)$ và $F\left(\dfrac{1}{2}\right)=1$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
| $F(x)=\dfrac{1}{2}\cos(1-2x)+\dfrac{1}{2}$ |
| $F(x)=\cos(1-2x)$ |
| $F(x)=\cos(1-2x)+1$ |
| $F(x)=-\dfrac{1}{2}\cos(1-2x)+\dfrac{3}{2}$ |
Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin2x$ và $F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1$. Tính $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$.
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=0$ |
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{3}{4}$ |
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$ |
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{5}{4}$ |
Tìm hàm số \(F(x)\) biết \(F'(x)=\sin2x\) và \(F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1\).
| \(F(x)=\dfrac{1}{2}\cos2x+\dfrac{3}{2}\) |
| \(F(x)=2x-\pi+1\) |
| \(F(x)=-\dfrac{1}{2}\cos2x+\dfrac{1}{2}\) |
| \(F(x)=-\cos2x\) |
Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=x+\sin x\) là
| \(1+\cos x+C\) |
| \(\dfrac{x^2}{2}-\cos x+C\) |
| \(\dfrac{x^2}{2}+\cos x+C\) |
| \(x^2-\cos x+C\) |
Khẳng định nào sau đây sai?
| \(\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^2x}\mathrm{\,d}x=\tan x+C\) |
| \(\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2x}\mathrm{\,d}x=-\cot x+C\) |
| \(\displaystyle\int\sin x\mathrm{\,d}x=\cos x+C\) |
| \(\displaystyle\int\cos x\mathrm{\,d}x=\sin x+C\) |
Nguyên hàm của hàm số \(\displaystyle\int\left(\sin x+\cos x\right)\mathrm{\,d}x\) bằng
| \(-\sin x+\cos x+C\) |
| \(\sin x+\cos x+C\) |
| \(-\sin x-\cos x+C\) |
| \(\sin x-\cos x+C\) |
Cho hàm số $f(x)=1+\sin x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x-\cos x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x+\sin x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x+\cos x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\cos x+C$ |
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x-\sin2x$ là
| $\dfrac{x^2}{2}+\cos2x+C$ |
| $\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2}\cos2x+C$ |
| $x^2+\dfrac{1}{2}\cos2x+C$ |
| $\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{2}\cos2x+C$ |
Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn $f'\left(x\right)=3-5\cos x$ và $f\left(0\right)=5$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
| $f\left(x\right)=3x+5\sin x+2$ |
| $f\left(x\right)=3x-5\sin x-5$ |
| $f\left(x\right)=3x-5\sin x+5$ |
| $f\left(x\right)=3x+5\sin x+5$ |
Nguyên hàm $\displaystyle\displaystyle\int\sin x\mathrm{d}x$ là
| $-\cos x+C$ |
| $\cos x+C$ |
| $\dfrac{1}{2}\cos2x+C$ |
| $-\cos2x+C$ |
Hàm số $F(x)=x^2+\sin x$ là nguyên hàm của hàm số nào?
| $y=\dfrac{1}{3}x^3+\cos x$ |
| $y=2x+\cos x$ |
| $y=\dfrac{1}{3}x^3-\cos x$ |
| $y=2x-\cos x$ |
Biết $\displaystyle\displaystyle\int\limits f(t)\mathrm{\,d}t=t^2+3t+C$. Tính $\displaystyle\displaystyle\int\limits f\left(\sin2x\right)\cos2x\mathrm{\,d}x$.
| $\displaystyle\displaystyle\int f\left(\sin2x\right)\cos2x\mathrm{\,d}x=2\sin^2x+6\sin{x}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f\left(\sin2x\right)\cos2x\mathrm{\,d}x=2\sin^22x+6\sin2x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f\left(\sin2x\right)\cos2x\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{2}\sin^22x+\dfrac{3}{2}\sin2x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f\left(\sin2x\right)\cos2x\mathrm{\,d}x=\sin^22x+3\sin2x+C$ |
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=3x-\sin x\).
| \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{3x^2}{2}+\cos x+C\) |
| \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=3+\cos x+C\) |
| \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{3x^2}{2}-\cos x+C\) |
| \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=3x^2+\cos x+C\) |
Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\sin3x\) là
| \(\dfrac{1}{3}\cos3x+C\) |
| \(-\dfrac{1}{3}\cos3x+C\) |
| \(-3\cos3x+C\) |
| \(3\cos3x+C\) |
\(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\cot x\) và \(F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\). Giá trị của \(F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\) bằng
| \(-\ln\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) |
| \(\ln\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) |
| \(\ln2\) |
| \(-\ln2\) |
Khẳng định nào sau đây sai?
| \(\displaystyle\int\cos x\mathrm{\,d}x=\sin x-C\) |
| \(\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2x}\mathrm{\,d}x=-\cot x+3C\) |
| \(\displaystyle\int\sin x\mathrm{\,d}x=\cos x+C\) |
| \(\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^2 x}\mathrm{\,d}x=\tan x-5+C\) |
Hàm số \(F(x)=2\sin x-3\cos x\) là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
| \(f(x)=-2\cos x-3\sin x\) |
| \(f(x)=-2\cos x+3\sin x\) |
| \(f(x)=2\cos x+3\sin x\) |
| \(f(x)=2\cos x-3\sin x\) |
Gọi \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)=2x+\mathrm{e}^x\) thỏa mãn \(F(0)=2019\). Tính \(F(1)\).
| \(\mathrm{e}+2018\) |
| \(\mathrm{e}-2018\) |
| \(\mathrm{e}+2019\) |
| \(\mathrm{e}-2019\) |