Trong không gian $Oxyz$, xét mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(2;1;3)$ đồng thời cắt các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $M,\,N,\,P$ sao cho tứ diện $OMNP$ có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng $d\colon\begin{cases} x=2+t\\ y=1-t\\ z=4+t \end{cases}$ với $(P)$ có tọa độ là

	$(4;-1;6)$
	$(4;6;1)$
	$(-4;6;-1)$
	$(4;1;6)$

Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) với \(A(1;2;1)\), \(B(2;1;3)\), \(C(3;2;2)\), \(D(1;1;1)\). Độ dài chiều cao \(DH\) của tứ diện bằng

	\(\dfrac{\sqrt{14}}{14}\)
	\(\dfrac{3\sqrt{14}}{14}\)
	\(\dfrac{3\sqrt{14}}{7}\)
	\(\dfrac{4\sqrt{14}}{7}\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có ba đỉnh \(A\left(2;1;-1\right)\), \(B\left(3;0;1\right)\), \(C\left(2;-1;3\right)\) và đỉnh \(D\) nằm trên tia \(Oy\). Tìm tọa độ đỉnh \(D\), biết thể tích tứ diện \(ABCD\) bằng \(5\).

	\(\left[\begin{array}{l}D\left(0;5;0\right)\\ D\left(0;-4;0\right)\end{array}\right.\)
	\(\left[\begin{array}{l}D\left(0;8;0\right)\\ D\left(0;-7;0\right)\end{array}\right.\)
	\(D\left(0;-7;0\right)\)
	\(D\left(0;8;0\right)\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) với \(A(-1;-2;4)\), \(B(-4;-2;0)\), \(C(3;-2;1)\) và \(D(1;1;1)\). Độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh \(D\) bằng

	\(3\)
	\(1\)
	\(2\)
	\(\dfrac{1}{2}\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có \(A(1;0;0)\), \(B(0;1;0)\), \(C(0;0;1)\), \(D(-2;1;-1)\). Tính thể tích của tứ diện.

	\(V=1\)
	\(V=2\)
	\(V=\dfrac{1}{2}\)
	\(V=\dfrac{1}{3}\)

Trong không gian \(Oxyz\), thể tích khối tứ diện \(ABCD\) được cho bởi công thức

	\(V=\dfrac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right]\cdot\overrightarrow{AB}\right|\)
	\(V=\dfrac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\cdot\overrightarrow{BC}\right|\)
	\(V=\dfrac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right]\cdot\overrightarrow{AC}\right|\)
	\(V=\dfrac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\right]\cdot\overrightarrow{DC}\right|\)

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $\widehat{ABC}=30^\circ$. Tam giác $SBC$ là tam giác đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là

	$\dfrac{3a^3}{16}$
	$\dfrac{a^3}{16}$
	$\dfrac{a^3\sqrt{3}}{16}$
	$\dfrac{3\sqrt{3}a^3}{16}$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành và có thể tích bằng $1$. Trên cạnh $SC$ lấy điểm $E$ sao cho $SE=2EC$. Tính thể tích $V$ của khối tứ diện $SEBD$.

	$V=\dfrac{1}{12}$
	$V=\dfrac{1}{3}$
	$V=\dfrac{1}{6}$
	$V=\dfrac{2}{3}$

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB=a$, $AC=2a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SB$ tạo với mặt đáy một góc $60^\circ$. Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $BC$. Thể tích khối chóp $A.SCNM$ bằng

	$\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^3$
	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^3$
	$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^3$
	$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^3$

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên đáy là điểm $H$ trên cạnh $AC$ sao cho $AH=\dfrac{2}{3}AC$; mặt phẳng $(SBC)$ tạo với đáy một góc $60^{\circ}$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là

	$\dfrac{a^3\sqrt{3}}{12}$
	$\dfrac{a^3\sqrt{3}}{48}$
	$\dfrac{a^3\sqrt{3}}{36}$
	$\dfrac{a^3\sqrt{3}}{24}$

Cho tứ diện $ABCD$, trên các cạnh $BC$, $BD$, $AC$ lần lượt lấy các điểm $M,\,N,\,P$ sao cho $BC=3BM$, $BD=\dfrac{3}{2}BN$, $AC=2AP$. Mặt phẳng $(MNP)$ chia khối tứ diện $ABCD$ thành hai khối đa diện có thể tích là $V_1$, $V_2$, trong đó khối đa diện chứa cạnh $CD$ có thể tích là $V_2$. Tính tỉ số $\dfrac{V_1}{V_2}$.

	$\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{26}{19}$
	$\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{26}{13}$
	$\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{3}{19}$
	$\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{15}{19}$

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và có $AB=a$, $BC=a\sqrt{3}$. Mặt bên $(SAB)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$.

	$V=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{12}$
	$V=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{4}$
	$V=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{6}$
	$V=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{3}$

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(SBC)$ bằng $45^\circ$ (tham khảo hình bên).

Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng

	$\dfrac{a^3}{8}$
	$\dfrac{3a^3}{8}$
	$\dfrac{\sqrt{3}a^3}{12}$
	$\dfrac{a^3}{4}$

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên \(SA=2a\) và vuông góc với mặt đáy. Gọi \(M,\,N\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên các đường thẳng \(SB\), \(SC\).

Tính thể tích của khối chóp \(A.BCNM\).

Cho khối chóp \(S.ABC\) có thể tích bằng \(16\). Gọi \(M,\,N,\,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA\), \(SB\), \(SC\). Tính thể tích \(V\) của khối tứ diện \(AMNP\).

	\(V=12\)
	\(V=2\)
	\(V=14\)
	\(V=8\)

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)\colon ax+by+cz+d=0$ (với $abc>0$) đi qua hai điểm $A(1;0;0)$, $B(0;1;0)$. Biết $\mathrm{d}\big(O,(P)\big)=\dfrac{2}{3}$ và điểm $C(-3;1;0)$. Tính $\mathrm{d}\big(C,(P)\big)$.

	$3$
	$1$
	$2$
	$0$

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;0;10)$ và $B(3;4;6)$. Xét các điểm $M$ thay đổi sao cho tam giác $OAM$ không có góc tù và có diện tích bằng $15$. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $MB$ thuộc khoảng nào dưới đây?

	$(4;5)$
	$(3;4)$
	$(2;3)$
	$(6;7)$

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ tâm $I(1;3;9)$ bán kính bằng $3$. Gọi $M,\,N$ là hai điểm lần lượt thuộc hai trục $Ox$, $Oz$ sao cho đường thẳng $MN$ tiếp xúc với $(S)$, đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OIMN$ có bán kính bằng $\dfrac{13}{2}$. Gọi $A$ là tiếp điểm của $MN$ và $(S)$, giá trị $AM\cdot AN$ bằng

	$39$
	$12\sqrt{3}$
	$18$
	$28\sqrt{3}$

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-2)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa trục $Ox$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ lớn nhất. Phương trình của $(P)$ là

	$2y+z=0$
	$2y-z=0$
	$y+z=0$
	$y-z=0$

Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $A\left(2;-3;5\right)$ trên trục $Oy$ có tọa độ là

	$\left(0;-3;0\right)$
	$\left(0;0;5\right)$
	$\left(2;0;0\right)$
	$\left(-3;0;0\right)$