Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), \(AB=2a\), \(AC=4a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=a\) (minh họa như hình vẽ). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SM\) và \(BC\) bằng
 | \(\dfrac{2a}{3}\) |
 | \(\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\) |
 | \(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\) |
 | \(\dfrac{a}{2}\) |
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang, \(AB=2a\), \(AD=DC=CB=a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=3a\) (như hình minh họa trên). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(DM\) bằng
| \(\dfrac{3a}{4}\) |
| \(\dfrac{3a}{2}\) |
| \(\dfrac{3\sqrt{13}a}{13}\) |
| \(\dfrac{6\sqrt{13}a}{13}\) |
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành và có thể tích bằng $1$. Trên cạnh $SC$ lấy điểm $E$ sao cho $SE=2EC$. Tính thể tích $V$ của khối tứ diện $SEBD$.
| $V=\dfrac{1}{12}$ |
| $V=\dfrac{1}{3}$ |
| $V=\dfrac{1}{6}$ |
| $V=\dfrac{2}{3}$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB=a$, $AC=2a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SB$ tạo với mặt đáy một góc $60^\circ$. Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $BC$. Thể tích khối chóp $A.SCNM$ bằng
| $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^3$ |
| $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^3$ |
| $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^3$ |
| $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^3$ |
Cho tứ diện $ABCD$ có hai mặt $\left(ABC\right)$ và $\left(BCD\right)$ vuông góc với nhau. Biết rằng $\triangle ABC$ đều cạnh $2a$ và $M$ là trung điểm $BC$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left(BCD\right)$.
| $2a$ |
| $a\sqrt{3}$ |
| $2a\sqrt{3}$ |
| $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ |
Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) với \(A(1;2;1)\), \(B(2;1;3)\), \(C(3;2;2)\), \(D(1;1;1)\). Độ dài chiều cao \(DH\) của tứ diện bằng
| \(\dfrac{\sqrt{14}}{14}\) |
| \(\dfrac{3\sqrt{14}}{14}\) |
| \(\dfrac{3\sqrt{14}}{7}\) |
| \(\dfrac{4\sqrt{14}}{7}\) |
Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên hợp với đáy một góc $60^\circ$. Gọi $M$ là điểm đối xứng với $C$ qua $D$, $N$ là trung điểm $SC$. Mặt phẳng $(BMN)$ chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính thể tích $V$ của khối đa diện chứa đỉnh $C$.
| $V=\dfrac{7\sqrt{6}a^3}{72}$ |
| $V=\dfrac{7\sqrt{6}a^3}{36}$ |
| $V=\dfrac{5\sqrt{6}a^3}{36}$ |
| $V=\dfrac{5\sqrt{6}a^3}{72}$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $\widehat{ABC}=30^\circ$. Tam giác $SBC$ là tam giác đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là
| $\dfrac{3a^3}{16}$ |
| $\dfrac{a^3}{16}$ |
| $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{16}$ |
| $\dfrac{3\sqrt{3}a^3}{16}$ |
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $AD=a$, $AB=2a$. Biết tam giác $SAB$ là tam giác đều và mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$.
| $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$ |
| $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ |
| $a\sqrt{3}$ |
| $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên đáy là điểm $H$ trên cạnh $AC$ sao cho $AH=\dfrac{2}{3}AC$; mặt phẳng $(SBC)$ tạo với đáy một góc $60^{\circ}$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là
| $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{12}$ |
| $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{48}$ |
| $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{36}$ |
| $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{24}$ |
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có chiều cao $a$, $AC=2a$ (tham khảo hình bên).
Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng
| $\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$ |
| $\sqrt{2}a$ |
| $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}a$ |
| $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$ |
Cho hình chóp $S.ABC$. Gọi $M,\,N,\,P$ lần lượt là trung điểm của $SA,\,SB,\,SC$. Chọn khẳng định đúng.
| $(MNP)\parallel(ABC)$ |
| $(MNP)\parallel(SAC)$ |
| $(SMN)\parallel(ABC)$ |
| $(MNP)\parallel(SBC)$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC=AB=AC=10$, $BC=10\sqrt{2}$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $\alpha$ là góc giữa $AM$ và $SB$. Tính $\cos\alpha$.
| $\cos\alpha=\dfrac{1}{3}$ |
| $\cos\alpha=\dfrac{2}{5}$ |
| $\cos\alpha=0$ |
| $\cos\alpha=\dfrac{2}{3}$ |
Cho tứ diện $ABCD$, trên các cạnh $BC$, $BD$, $AC$ lần lượt lấy các điểm $M,\,N,\,P$ sao cho $BC=3BM$, $BD=\dfrac{3}{2}BN$, $AC=2AP$. Mặt phẳng $(MNP)$ chia khối tứ diện $ABCD$ thành hai khối đa diện có thể tích là $V_1$, $V_2$, trong đó khối đa diện chứa cạnh $CD$ có thể tích là $V_2$. Tính tỉ số $\dfrac{V_1}{V_2}$.
| $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{26}{19}$ |
| $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{26}{13}$ |
| $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{3}{19}$ |
| $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{15}{19}$ |
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $AD=a$, $AB=2a$. Biết tam giác $SAB$ là tam giác đều và mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$.
| $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$ |
| $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ |
| $a\sqrt{3}$ |
| $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ |
Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. $P$ là điểm di động trên đoạn $BD$. Mặt phẳng $(MNP)$ cắt $AD$ tại $Q$.
- Tứ giác $MNPQ$ là hình gì?
- Tìm tập hợp giao điểm $I$ của $MQ$ và $NP$ khi $P$ di động trên đoạn $BD$.
Cho tứ diện $ABCD$, gọi $E$ là trung điểm của $AB$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(ECD)$ và $(ABC)$ là
| $ED$ |
| $EC$ |
| $EB$ |
| $EA$ |
Cho tứ diện $ABCD$, $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ là điểm trên $AC$ mà $AN=\dfrac{1}{4}AC$, $P$ là điểm trên đoạn $AD$ mà $AP=\dfrac{2}{3}AD$. Gọi $E$ là giao điểm của $MP$ và $BD$, $F$ là giao điểm của $MN$ và $BC$. Khi đó giao tuyến của $(BCD)$ và $(MPC)$ là
| $CE$ |
| $MF$ |
| $NE$ |
| $CP$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và có $AB=a$, $BC=a\sqrt{3}$. Mặt bên $(SAB)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$.
| $V=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{12}$ |
| $V=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{4}$ |
| $V=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{6}$ |
| $V=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{3}$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=2a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$ bằng
| $\sqrt2a$ |
| $2a$ |
| $a$ |
| $2\sqrt2a$ |
