Cho $a,\,b$ là các số thực dương thỏa mãn $\log_{27}a=\log_3\left(a\sqrt[3]{b}\right)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 | $a^2+b=1$ |
 | $a+b^2=1$ |
 | $ab^2=1$ |
 | $a^2b=1$ |
Kết quả của phép tính tích phân \(\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\ln(2x+1)\mathrm{\,d}x=a\ln3+b\), (\(a,\,b\in\mathbb{Q}\)) khi đó giá trị của \(ab^3\) bằng
| \(-\dfrac{3}{2}\) |
| \(3\) |
| \(1\) |
| \(\dfrac{3}{2}\) |
Cho các số thực dương $a,\,b$ thỏa mãn $9^{\log_3\big(ab^2\big)}=4ab^3$. Tích $ab$ bằng
| $4$ |
| $2$ |
| $3$ |
| $6$ |
Cho $\log_25=a$ và $\log_35=b$. Khi đó, $\log_65$ tính theo $a$ và $b$ là
| $a^2+b^2$ |
| $\dfrac{ab}{a+b}$ |
| $\dfrac{1}{a+b}$ |
| $a+b$ |
Cho hàm số $f\left(x\right)=\log_2^3x-\log_2x^3+m$ ($m$ là tham số thực). Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ sao cho $\max\limits_{\left[1;4\right]}\left|f\left(x\right)\right|+\min\limits_{\left[1;4\right]}\left|f\left(x\right)\right|=6$. Tổng bình phương các phần tử của $S$ bằng
| $13$ |
| $18$ |
| $5$ |
| $8$ |
Với mọi $a,\,b$ thỏa mãn $\log_2a-3\log_2b=2$, khẳng định nào dưới đây đúng?
| $a=4b^3$ |
| $a=3b+4$ |
| $a=3b+2$ |
| $a=\dfrac{4}{b^3}$ |
Đặt \(a=\log_23\), \(b=\log_53\). Nếu biểu diễn \(\log_645=\dfrac{a(m+nb)}{b(a+p)}\) với \(m,\,n,\,p\in\mathbb{N}\) thì \(m+n+p\) bằng
| \(3\) |
| \(4\) |
| \(6\) |
| \(-3\) |
Phương trình \(2^{x-2}=3^{x^2+2x-8}\) có một nghiệm dạng \(x=\log_ab-4\) với \(a,\,b\) là các số nguyên dương thuộc khoảng \((1;5)\). Khi đó, \(a+2b\) bằng
| \(6\) |
| \(9\) |
| \(14\) |
| \(7\) |
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log_2^2x-3\log_2x+2<0\) là khoảng \((a;b)\). Tính \(a^2+b^2\).
| \(16\) |
| \(5\) |
| \(20\) |
| \(10\) |
Cho \(\log_5a=5\) và \(\log_3b=\dfrac{2}{3}\). Tính giá trị của biểu thức $$I=2\log_6\left[\log_5(5a)\right]+\log_{\tfrac{1}{9}}b^3.$$
| \(I=3\) |
| \(I=-2\) |
| \(I=1\) |
| \(I=2\log_65+1\) |
Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P)\colon mx+2y+nz+1=0$ và $(Q)\colon x-my+nz+2=0$ $(m,\,n\in\mathbb{R})$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)\colon 4x-y-6z+3=0$. Tính $m+n$.
| $m+n=0$ |
| $m+n=2$ |
| $m+n=1$ |
| $m+n=3$ |
Biết phương trình $z^2+mz+n=0$ ($m,\,n\in\mathbb{R}$) có một nghiệm là $1-3i$. Tính $n+3m$.
| $4$ |
| $3$ |
| $16$ |
| $6$ |
Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(\alpha)\colon2x+2y-z-6=0$. Gọi mặt phẳng $(\beta)\colon x+y+cz+d=0$ không qua $O$, song song với mặt phẳng $(\alpha)$ và $\mathrm{d}\left((\alpha),(\beta)\right)=2$. Tính $c\cdot d$?
| $cd=3$ |
| $cd=0$ |
| $cd=12$ |
| $cd=6$ |
Biết rằng $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{5}\dfrac{3}{x^2+3x}\mathrm{d}x=a\ln5+b\ln2$ $\left(a,\,b\in\mathbb{Z}\right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
| $a+2b=0$ |
| $2a-b=0$ |
| $a-b=0$ |
| $a+b=0$ |
Cho $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\dfrac{2}{3}\left(\sqrt{a}-b\right)$ với $a$, $b$ là các số dương. Giá trị của biểu thức $T=a+b$ là
| $10$ |
| $7$ |
| $6$ |
| $8$ |
Trong không gian $Oxyz$, biết đường thẳng $(d)\colon\begin{cases} x=1+t\\ y=a-2t\\ z=bt \end{cases}$ $(t\in\mathbb{R})$ nằm trong mặt phẳng $(P)\colon x+y-z-2=0$. Tổng $a+b$ có giá trị là
| $-3$ |
| $-1$ |
| $1$ |
| $0$ |
Biết $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^1\left(\dfrac{9}{x-3}-\dfrac{7}{x-2}\right)\mathrm{\,d}x=a\ln{3}-b\ln{2}$. Tính giá trị $P=a^2+b^2$.
| $P=32$ |
| $P=130$ |
| $P=2$ |
| $P=16$ |
Biết $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}(3x-1)\mathrm{e}^{\tfrac{x}{2}}\mathrm{\,d}x=a+b\mathrm{e}$ với $a,\,b$ là các số nguyên. Giá trị của $a+b$ bằng
| $12$ |
| $16$ |
| $6$ |
| $10$ |
Cho hàm số $y=x^4-4x^2+m$. Tìm $m$ để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại $4$ điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị với trục hoành có diện tích phần phía trên trục hoành bằng diện tích phần phía dưới trục hoành. Khi đó $m=\dfrac{a}{b}$ với $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a+2b$.
| $37$ |
| $38$ |
| $0$ |
| $29$ |
Cho số phức $z=a+bi$ ($a,\,b\in\mathbb{R}$) thỏa mãn $z+3+i-|z|i=0$. Tính $S=a+b$.
| $-1$ |
| $-3$ |
| $0$ |
| $1$ |