Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d\colon\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$ và mặt phẳng $(P)\colon2x+y+2z-1=0$. Gọi $d'$ là hình chiếu của đường thẳng $(d)$ lên mặt phẳng $(P)$, vectơ chỉ phương của đường thẳng $d'$ là
 | $\overrightarrow{u_2}=(5;-4;-3)$ |
 | $\overrightarrow{u_1}=(5;16;-13)$ |
 | $\overrightarrow{u_3}=(5;-16;-13)$ |
 | $\overrightarrow{u_2}=(5;16;13)$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(1;2;3)$, $A(2;4;4)$ và hai mặt phẳng $(P)\colon x+y-2z+1=0$, $(Q)\colon x-2y-z+4=0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$, cắt $(P)$, $(Q)$ lần lượt tại $B,\,C$ sao cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và nhận $AM$ làm đường trung tuyến.
| $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}$ |
| $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;-3;-2)$ và mặt phẳng $(P)\colon x-2y-3z+4=0$. Đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình là
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z+2}{-3}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z+2}{-3}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z+2}{-3}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z+2}{3}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d\colon\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ và mặt phẳng $(P)\colon x+2y+z-4=0$. Hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$ là đường thẳng có phương trình
| $\dfrac{x}2=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+2}{-4}$ |
| $\dfrac{x}3=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$ |
| $\dfrac{x}2=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}$ |
| $\dfrac{x}3=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-2}{1}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(-1;3;2)$ và mặt phẳng $(P)\colon x-2y+4z+1=0$. Đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình là
| $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z-2}{1}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z+2}{4}$ |
| $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z-2}{4}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(-2;-2;1)$, $A(1;2;-3)$ và đường thẳng $d\colon\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-5}{2}=\dfrac{z}{-1}$. Gọi $\overrightarrow{u}=(1;a;b)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$, $\Delta$ vuông góc với đường thẳng $d$ đồng thời cách điểm $A$ một khoảng nhỏ nhất. Giá trị của $a+2b$ là
| $1$ |
| $2$ |
| $3$ |
| $4$ |
Trong không gian $Oxyz$, gọi $M(a;b;c)$ là giao điểm của đường thẳng $d\colon\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $(P)\colon2x+3y-4z+4=0$. Tính $T=a+b+c$.
| $T=\dfrac{3}{2}$ |
| $T=6$ |
| $T=4$ |
| $T=-\dfrac{5}{2}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-4;-3;3)$ và mặt phẳng $(P)\colon x+y+z=0$. Đường thẳng đi qua $A$, cắt trục $Oz$ và song song với $(P)$ có phương trình là
| $\dfrac{x-4}{4}=\dfrac{y-3}{3}=\dfrac{z-3}{-7}$ |
| $\dfrac{x+4}{4}=\dfrac{y+3}{3}=\dfrac{z-3}{1}$ |
| $\dfrac{x+4}{-4}=\dfrac{y+3}{3}=\dfrac{z-3}{1}$ |
| $\dfrac{x+8}{4}=\dfrac{y+6}{3}=\dfrac{z-10}{-7}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2;-5;3)$ và đường thẳng $d\colon\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-3}{-1}$. Mặt phẳng đi qua $M$ và vuông góc với $d$ có phương trình là
| $2x-5y+3z-38=0$ |
| $2x+4y-z+19=0$ |
| $2x+4y-z-19=0$ |
| $2x+4y-z+11=0$ |
Trong không gian $Oxyz$, biết đường thẳng $(d)\colon\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{2}$ cắt mặt phẳng $(P)\colon x-y+2z+3=0$ tại điểm $M(a;b;c)$. Giá trị $P=a+b+c$ bằng
| $5$ |
| $-2$ |
| $-5$ |
| $0$ |
Trong không gian $Oxyz$, phương trình đường thẳng đi qua điểm $A(3;1;-1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)\colon2x-y+2z-5=0$ là
| $\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{2}$ |
| $\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ |
| $\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+1}{2}$ |
| $\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+1}{2}$ |
Trong không gian $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(1;2;-3)$ và vuông góc mặt phẳng $(P)\colon3x-y+5z+2=0$?
| $\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z-3}{5}$ |
| $\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+5}{-3}$ |
| $\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z+5}{3}$ |
| $\dfrac{x-1}{-3}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+3}{-5}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $P(3;1;3)$ và đường thẳng $d\colon\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y+4}{3}=\dfrac{z-2}{3}$. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm $P$ và vuông góc với đường thẳng $d$?
| $x-4y+3z+3=0$ |
| $x+3y+3z-3=0$ |
| $3x+y+3z-15=0$ |
| $x+3y+3z-15=0$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d\colon\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+5}{3}$. Tìm tọa độ một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.
| $\overrightarrow{a}=(2;-1;3)$ |
| $\overrightarrow{b}=(2;1;3)$ |
| $\overrightarrow{u}=(3;1;-5)$ |
| $\overrightarrow{q}=(-3;1;5)$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d\colon\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{-2}$, $d'\colon\begin{cases} x=-1-2t\\ y=t\\ z=-1-t \end{cases}$ và mặt phẳng $(P)\colon x-y-z=0$. Biết rằng đường thẳng $\Delta$ song song với mặt phẳng $(P)$, cắt các đường thẳng $d,\,d'$ lần lượt tại $M$ và $N$ sao cho $MN=\sqrt{2}$ (điểm $M$ không trùng với gốc tọa độ $O$). Phương trình của đường thẳng $\Delta$ là
| $\begin{cases}x=\dfrac{4}{7}+3t\\ y=-\dfrac{4}{7}+8t\\ z=-\dfrac{8}{7}-5t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=-\dfrac{4}{7}+3t\\ y=\dfrac{4}{7}+8t\\ z=-\dfrac{8}{7}-5t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=\dfrac{1}{7}+3t\\ y=-\dfrac{4}{7}+8t\\ z=-\dfrac{3}{7}-5t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=\dfrac{1}{7}+3t\\ y=-\dfrac{4}{7}+8t\\ z=-\dfrac{8}{7}-5t\end{cases}$ |
Trong không gian $Oxyz$, phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(1;1;-2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)\colon x-y-z-1=0$ là
| $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-2}{-1}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+2}{-2}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+2}{-1}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+1}{-2}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-1)$, đường thẳng $d\colon\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ và mặt phẳng $(P)\colon x+y+2z+1=0$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua $A$, vuông góc và cắt đường thẳng $d$. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$.
| $(0;3;-2)$ |
| $(6;-7;0)$ |
| $(3;-2;-1)$ |
| $(-3;8;-3)$ |
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\colon\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-4}{-5}=\dfrac{z+1}{3}\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của \(d\)?
| \(\overrightarrow{u_2}=\left(2;4;-1\right)\) |
| \(\overrightarrow{u_1}=\left(2;-5;3\right)\) |
| \(\overrightarrow{u_3}=\left(2;5;3\right)\) |
| \(\overrightarrow{u_4}=\left(3;4;1\right)\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left(2;-2;3\right)\) và đường thẳng \(d\colon\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-3}{-1}\). Mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(d\) có phương trình là
| \(3x+2y-z+1=0\) |
| \(2x-2y+3z-17=0\) |
| \(3x+2y-z-1=0\) |
| \(2x-2y+3z+17=0\) |
Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \(\left(S\right)\colon x^2+y^2+z^2-6x+4y-2z+5=0\) và mặt phẳng \(\left(P\right)\colon x+2y+2z+11=0\). Tìm điểm \(M\) trên mặt cầu \(\left(S\right)\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến \(\left(P\right)\) là ngắn nhất.
| \(M\left(0;0;1\right)\) |
| \(M\left(2;-4;-1\right)\) |
| \(M\left(4;0;3\right)\) |
| \(M\left(0;-1;0\right)\) |