Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d\colon\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{-2}$, $d'\colon\begin{cases} x=-1-2t\\ y=t\\ z=-1-t \end{cases}$ và mặt phẳng $(P)\colon x-y-z=0$. Biết rằng đường thẳng $\Delta$ song song với mặt phẳng $(P)$, cắt các đường thẳng $d,\,d'$ lần lượt tại $M$ và $N$ sao cho $MN=\sqrt{2}$ (điểm $M$ không trùng với gốc tọa độ $O$). Phương trình của đường thẳng $\Delta$ là
 | $\begin{cases}x=\dfrac{4}{7}+3t\\ y=-\dfrac{4}{7}+8t\\ z=-\dfrac{8}{7}-5t\end{cases}$ |
 | $\begin{cases}x=-\dfrac{4}{7}+3t\\ y=\dfrac{4}{7}+8t\\ z=-\dfrac{8}{7}-5t\end{cases}$ |
 | $\begin{cases}x=\dfrac{1}{7}+3t\\ y=-\dfrac{4}{7}+8t\\ z=-\dfrac{3}{7}-5t\end{cases}$ |
 | $\begin{cases}x=\dfrac{1}{7}+3t\\ y=-\dfrac{4}{7}+8t\\ z=-\dfrac{8}{7}-5t\end{cases}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-4;-3;3)$ và mặt phẳng $(P)\colon x+y+z=0$. Đường thẳng đi qua $A$, cắt trục $Oz$ và song song với $(P)$ có phương trình là
| $\dfrac{x-4}{4}=\dfrac{y-3}{3}=\dfrac{z-3}{-7}$ |
| $\dfrac{x+4}{4}=\dfrac{y+3}{3}=\dfrac{z-3}{1}$ |
| $\dfrac{x+4}{-4}=\dfrac{y+3}{3}=\dfrac{z-3}{1}$ |
| $\dfrac{x+8}{4}=\dfrac{y+6}{3}=\dfrac{z-10}{-7}$ |
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M(1;-3;4)\), đường thẳng \(d\colon\dfrac{x+3}{3}=\dfrac{y-5}{-5}=\dfrac{z-2}{-1}\) và mặt phẳng \((P)\colon2x+z-2=0\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(M\), vuông góc với \(d\) và song song với \((P)\).
| \(\Delta\colon\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z-4}{-2}\) |
| \(\Delta\colon\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z-4}{-2}\) |
| \(\Delta\colon\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{1}=\dfrac{z-4}{-2}\) |
| \(\Delta\colon\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z-4}{2}\) |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-1)$ và mặt phẳng $(P)\colon x+2y+z=0$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình là
| $\begin{cases}x=1+t\\ y=2-2t\\ z=-1+t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=1+t\\ y=2+2t\\ z=1-t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=1+t\\ y=2+2t\\ z=1+t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=1+t\\ y=2+2t\\ z=-1+t\end{cases}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(3;2;-1)$ và mặt phẳng $(P)\colon x+z-2=0$. Đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình là
| $\begin{cases}x=3+t\\ y=2\\ z=-1+t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=3+t\\ y=2t\\ z=1-t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=3+t\\ y=1+2t\\ z=-t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=3+t\\ y=2+t\\ z=-1\end{cases}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left(1;-2;0\right)$ và mặt phẳng $\left(\alpha\right)\colon x+2y-2z+3=0$. Đường thẳng đi qua điểm $M$ và vuông góc với $\left(\alpha\right)$ có phương trình tham số là
| $\begin{cases}x=1+t\\ y=2+2t\\ z=-2t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=1+t\\ y=-2+2t\\ z=2t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=1-t\\ y=-2-2t\\ z=2t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=1+t\\ y=2-2t\\ z=-2\end{cases}$ |
Trong không gian $Oxyz$, biết đường thẳng $(d)\colon\begin{cases} x=1+t\\ y=a-2t\\ z=bt \end{cases}$ $(t\in\mathbb{R})$ nằm trong mặt phẳng $(P)\colon x+y-z-2=0$. Tổng $a+b$ có giá trị là
| $-3$ |
| $-1$ |
| $1$ |
| $0$ |
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A(2;-3;0)\) và mặt phẳng \((\alpha)\colon x+2y-z+3=0\). Tìm phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A\) sao cho \((P)\) vuông góc với \((\alpha)\) và \((P)\) song song với trục \(Oz\)?
| \(2x+y-1=0\) |
| \(y+2z+3=0\) |
| \(2x-y-7=0\) |
| \(x+2y-z+4=0\) |
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua điểm \(M(0;4;1)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\colon2x-2y-z=0\)?
| \(\begin{cases}x=-2\\y=2+4t\\z=1+t\end{cases}\) |
| \(\begin{cases}x=2\\y=-2+4t\\z=-1+t\end{cases}\) |
| \(\begin{cases}x=t\\y=4-t\\z=1-2t\end{cases}\) |
| \(\begin{cases}x=2t\\y=4-2t\\z=1-t\end{cases}\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\colon\begin{cases}
x=1-t\\ y=2+2t\\ z=3+t\end{cases}\) và mặt phẳng \((P)\colon x-y+3=0\). Tính số đo góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\).
| \(60^\circ\) |
| \(30^\circ\) |
| \(120^\circ\) |
| \(45^\circ\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\colon\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+5}{-1}=\dfrac{z-3}{4}\). Phương trình nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d\) trên mặt phẳng \((P)\colon x+3=0\)?
| \(\begin{cases}x=-3\\ y=-5-t\\ z=-3+4t\end{cases}\) |
| \(\begin{cases}x=-3\\ y=-5+t\\ z=3+4t\end{cases}\) |
| \(\begin{cases}x=-3\\ y=-5+2t\\ z=3-t\end{cases}\) |
| \(\begin{cases}x=-3\\ y=-6-t\\ z=7+4t\end{cases}\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A(3;5;3)\) và hai mặt phẳng \((P)\colon2x+y+2z-8=0\), \((Q)\colon x-4y+z-4=0\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và song song với cả hai mặt phẳng \((P)\), \((Q)\).
| \(d\colon\begin{cases}x=3+t\\ y=5-t\\ z=3\end{cases}\) |
| \(d\colon\begin{cases}x=3+t\\ y=5\\ z=3-t\end{cases}\) |
| \(d\colon\begin{cases}x=3+t\\ y=5\\ z=3+t\end{cases}\) |
| \(d\colon\begin{cases}x=3\\ y=5+t\\ z=3-t\end{cases}\) |
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(1;2;3)$, $A(2;4;4)$ và hai mặt phẳng $(P)\colon x+y-2z+1=0$, $(Q)\colon x-2y-z+4=0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$, cắt $(P)$, $(Q)$ lần lượt tại $B,\,C$ sao cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và nhận $AM$ làm đường trung tuyến.
| $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}$ |
| $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d\colon\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$ và mặt phẳng $(P)\colon2x+y+2z-1=0$. Gọi $d'$ là hình chiếu của đường thẳng $(d)$ lên mặt phẳng $(P)$, vectơ chỉ phương của đường thẳng $d'$ là
| $\overrightarrow{u_2}=(5;-4;-3)$ |
| $\overrightarrow{u_1}=(5;16;-13)$ |
| $\overrightarrow{u_3}=(5;-16;-13)$ |
| $\overrightarrow{u_2}=(5;16;13)$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d\colon\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-5}{2}$ và mặt phẳng $(P)\colon2x+y+z-3=0$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2;-1;3)$, cắt đường thẳng $d$ và tạo với mặt phẳng $(P)$ một góc $30^\circ$ có phương trình là
| $\dfrac{x+2}{22}=\dfrac{y-1}{-13}=\dfrac{z+3}{8}$ |
| $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{2}$ |
| $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{1}$ |
| $\dfrac{x-2}{-11}=\dfrac{y+1}{5}=\dfrac{z-3}{2}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;-3;-2)$ và mặt phẳng $(P)\colon x-2y-3z+4=0$. Đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình là
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z+2}{-3}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z+2}{-3}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z+2}{-3}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z+2}{3}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d\colon\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ và mặt phẳng $(P)\colon x+2y+z-4=0$. Hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$ là đường thẳng có phương trình
| $\dfrac{x}2=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+2}{-4}$ |
| $\dfrac{x}3=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$ |
| $\dfrac{x}2=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}$ |
| $\dfrac{x}3=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-2}{1}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(-1;3;2)$ và mặt phẳng $(P)\colon x-2y+4z+1=0$. Đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình là
| $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z-2}{1}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z+2}{4}$ |
| $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z-2}{4}$ |
Trong không gian $Oxyz$, gọi $M(a;b;c)$ là giao điểm của đường thẳng $d\colon\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $(P)\colon2x+3y-4z+4=0$. Tính $T=a+b+c$.
| $T=\dfrac{3}{2}$ |
| $T=6$ |
| $T=4$ |
| $T=-\dfrac{5}{2}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha)\colon2x-3y+z-3=0$. Mặt phẳng nào dưới đây song song với mặt phẳng $(\alpha)$?
| $(\gamma)\colon2x-3y+z+2=0$ |
| $(Q)\colon2x+3y+z+3=0$ |
| $(P)\colon2x-3y+z-3=0$ |
| $(\beta)\colon x-3y+z-3=0$ |