Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ lần lượt có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{n'}$. Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Chọn công thức đúng?
 | $\cos\varphi=\dfrac{\left|\overrightarrow{n'}\cdot\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{n'}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}\right|}$ |
 | $\cos\varphi=\dfrac{\overrightarrow{n'}\cdot\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{n'}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}\right|}$ |
 | $\sin\varphi=\dfrac{\left|\overrightarrow{n'}\cdot\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{n'}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}\right|}$ |
 | $\sin\varphi=\dfrac{\overrightarrow{n'}\cdot\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{n'}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}\right|}$ |
Trong không gian $Oxyz$, xét mặt cầu $(S)$ có tâm $I(4;8;12)$ và bán kính $R$ thay đổi. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $R$ sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của $(S)$ trong mặt phẳng $(Oyz)$ mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua $O$ và góc giữa chúng không nhỏ hơn $60^\circ$?
| $6$ |
| $2$ |
| $10$ |
| $5$ |
Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình là
| $x=0$ |
| $z=0$ |
| $x+y+z=0$ |
| $y=0$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-3)$, mặt phẳng $(P)\colon3x+y-z-1=0$ và mặt phẳng $(Q)\colon x+3y+z-3=0$. Gọi $(\Delta)$ là đường thẳng đi qua $A$, cắt và vuông góc với giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$. Sin của góc tạo bởi đường thẳng $(\Delta)$ và mặt phẳng $(P)$ bằng
| $\dfrac{7\sqrt{55}}{55}$ |
| $\dfrac{\sqrt{55}}{55}$ |
| $0$ |
| $\dfrac{-3\sqrt{55}}{11}$ |
Trong không gian $Oxyz$, gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P)\colon x-\sqrt{3}y+2z+1=0$ và mặt phẳng $(Oxy)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
| $\alpha=45^{\circ}$ |
| $\alpha=30^{\circ}$ |
| $\alpha=60^{\circ}$ |
| $\alpha=90^{\circ}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\overrightarrow{a}=-3\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là
| $(0;-4;3)$ |
| $(-3;0;4)$ |
| $(0;3;4)$ |
| $(0;-3;4)$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d\colon\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-5}{2}$ và mặt phẳng $(P)\colon2x+y+z-3=0$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2;-1;3)$, cắt đường thẳng $d$ và tạo với mặt phẳng $(P)$ một góc $30^\circ$ có phương trình là
| $\dfrac{x+2}{22}=\dfrac{y-1}{-13}=\dfrac{z+3}{8}$ |
| $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{2}$ |
| $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{1}$ |
| $\dfrac{x-2}{-11}=\dfrac{y+1}{5}=\dfrac{z-3}{2}$ |
Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình là
| $x+z=0$ |
| $x+y+z=0$ |
| $y=0$ |
| $x-y+z=0$ |
Trong không gian $Oxyz$, các véctơ đơn vị trên các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt là $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$, cho điểm $M\left(2;-1; 1\right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
| $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{k}+\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{i}$ |
| $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{k}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{i}$ |
| $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$ |
| $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$ |
Trong không gian $Oxyz$, vectơ $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$ có tọa độ là
| $(1;3;2)$ |
| $(1;-3;2)$ |
| $(1;2;3)$ |
| $(0;-3;2)$ |
Trong không gian $Oxyz$, gọi $\varphi$ là góc tạo bởi hai vectơ $\overrightarrow{a}=(3;-1;2)$ và $\overrightarrow{b}=(1;1;-1)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
| $\varphi=30^{\circ}$ |
| $\varphi=45^{\circ}$ |
| $\varphi=90^{\circ}$ |
| $\varphi=60^{\circ}$ |
Trong không gian $Oxyz$, gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa trục $Oy$ và tạo với mặt phẳng $y+z+1=0$ một góc $60^\circ$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là
| $\left[\begin{array}{l}x-y=0\\ x+y=0\end{array}\right.$ |
| $\left[\begin{array}{l}x-z=0\\ x+z=0\end{array}\right.$ |
| $\left[\begin{array}{l}x-z-1=0\\ x-z=0\end{array}\right.$ |
| $\left[\begin{array}{l}x-2z=0\\ x+z=0\end{array}\right.$ |
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
| Mặt cầu tâm \(I\left(2;-3;-4\right)\) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left(Oxy\right)\) có phương trình \(x^2+y^2+z^2-4x+6y+8z+13=0\) |
| Mặt cầu \(\left(S\right)\) có phương trình \(x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z=0\) cắt trục \(Ox\) tại \(A\) (khác gốc tọa độ \(O\)). Khi đó tọa đô là \(A\left(2;0;0\right)\) |
| Mặt cầu \(\left(S\right)\) có phương trình \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2+\left(z-c\right)^2=R^2\) tiếp xúc với trục \(Ox\) thì bán kính mặt cầu \(\left(S\right)\) là \(r=\sqrt{b^2+c^2}\) |
| \(x^2+y^2+z^2+2x-2y-2z+10=0\) là phương trình mặt cầu |
Trong không gian \(Oxyz\), cho các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của mặt cầu?
| \(x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z-8=0\) |
| \(\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2=9\) |
| \(2x^2+2y^2+2z^2-4x+2y+2z+16=0\) |
| \(3x^2+3y^2+3z^2-6x+12y-24z+16=0\) |
Trong không gian \(Oxyz\), hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left(2;1;-1\right)\) trên mặt phẳng \(\left(Ozx\right)\) có tọa độ là
| \(\left(0;1;0\right)\) |
| \(\left(2;1;0\right)\) |
| \(\left(0;1;-1\right)\) |
| \(\left(2;0;-1\right)\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P)\colon x+y-z-1=0\) và điểm \(A(1;0;0)\in(P)\). Đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(A\) nằm trong \((P)\) và tạo với trục \(Oz\) một góc nhỏ nhất. Gọi \(M\left(x_0;y_0;z_0\right)\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta\) với mặt phẳng \((Q)\colon2x+y-2z+1=0\). Tổng \(S=x_0+y_0+z_0\) bằng
| \(-2\) |
| \(13\) |
| \(-5\) |
| \(12\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(-1;-2;3)\), \(B(0;3;1)\), \(C(4;2;2)\). Côsin của góc \(\widehat{BAC}\) bằng
| \(-\dfrac{9}{\sqrt{35}}\) |
| \(-\dfrac{9}{2\sqrt{35}}\) |
| \(\dfrac{9}{\sqrt{35}}\) |
| \(\dfrac{9}{2\sqrt{35}}\) |
Trong không gian \(Oxyz\), chọn câu đúng trong các câu sau:
| Mặt phẳng tọa độ \((Oxy)\) có phương trình \(z=0\) |
| Mặt phẳng tọa độ \((Ozx)\) có phương trình \(x=0\) |
| Mặt phẳng tọa độ \((Oyz)\) có phương trình \(y+z=0\) |
| Mặt phẳng tọa độ \((Oxy)\) có phương trình \(x+y=0\) |
Cho mặt phẳng \(\left(P\right)\colon2x-3z-1=0\). Khi đó \(\left(P\right)\) có một vectơ pháp tuyến là
| \(\overrightarrow{n}=\left(2;-3;1\right)\) |
| \(\overrightarrow{n}=\left(2;-3;0\right)\) |
| \(\overrightarrow{n}=\left(2;0;-3\right)\) |
| \(\overrightarrow{n}=\left(2;-3;-1\right)\) |
Trong không gian \(Oxyz\), điều kiện để phương trình dạng \(x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0\) là phương trình của mặt cầu tâm \(I(-a;-b;-c)\), bán kính \(R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}\) là
| \(a^2+b^2+c^2+d>0\) |
| \(a^2+b^2+c^2-d>0\) |
| \(a^2+b^2+c^2+d^2>0\) |
| \(a^2+b^2+c^2-d^2>0\) |