Cho $F(x)=\dfrac{1}{2x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $\dfrac{f(x)}{x}$. Tìm nguyên hàm của hàm số $f'(x)\ln x$.
 | $\displaystyle\displaystyle\int f'(x)\ln x\mathrm{\,d}x=-\left(\dfrac{\ln x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}\right)+C$ |
 | $\displaystyle\displaystyle\int f'(x)\ln x\mathrm{\,d}x=\dfrac{\ln x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}+C$ |
 | $\displaystyle\displaystyle\int f'(x)\ln x\mathrm{\,d}x=-\left(\dfrac{\ln x}{x^2}+\dfrac{1}{2x^2}\right)+C$ |
 | $\displaystyle\displaystyle\int f'(x)\ln x\mathrm{\,d}x=\dfrac{\ln x}{x^2}+\dfrac{1}{2x^2}+C$ |
Biết $F(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $y=\dfrac{f(x)}{x}$. Tính $\displaystyle\displaystyle\int f'(x)\ln{x}\mathrm{\,d}x$.
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits f'(x)\ln{x}\mathrm{\,d}x=-\dfrac{2\ln{x}}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits f'(x)\ln{x}\mathrm{\,d}x=\dfrac{2\ln{x}}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits f'(x)\ln{x}\mathrm{\,d}x=\dfrac{2\ln{x}}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits f'(x)\ln{x}\mathrm{\,d}x=-\dfrac{2\ln{x}}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}+C$ |
Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị dương trên khoảng $(0;+\infty)$, có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa mãn $f(x)\ln f(x)=x\big(f(x)-f'(x)\big)$, $\forall x\in(0;+\infty)$. Biết $f(1)=f(3)$, giá trị $f(2)$ thuộc khoảng nào dưới đây?
| $(12;14)$ |
| $(4;6)$ |
| $(1;3)$ |
| $(6;8)$ |
Cho hai hàm số $u=u(x)$, $v=v(x)$ có đạo hàm liên tục. Khi đó, $\displaystyle\displaystyle\int u\mathrm{d}v$ bằng
| $uv-\displaystyle\displaystyle\int v\mathrm{d}u$ |
| $uv+\displaystyle\displaystyle\int v\mathrm{d}u$ |
| $-uv-\displaystyle\displaystyle\int v\mathrm{d}u$ |
| $-uv+\displaystyle\displaystyle\int v\mathrm{d}u$ |
Cho $\displaystyle\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\mathrm{\,d}x=F(x)+C$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $F'(x)=\dfrac{2}{x^2}$ |
| $F'(x)=\ln x$ |
| $F'(x)=\dfrac{1}{x}$ |
| $F'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ |
Tính nguyên hàm $\displaystyle\displaystyle\int\dfrac{\left(\ln x+2\right)\mathrm{d}x}{x\ln x}$ bằng cách đặt $t=\ln x$ ta được nguyên hàm nào sau đây?
| $\displaystyle\displaystyle\int\dfrac{t\mathrm{\,d}t}{t-2}$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int(t+2)\mathrm{\,d}t$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\left(1+\dfrac{2}{t}\right)\mathrm{\,d}t$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\dfrac{(t+2)\mathrm{\,d}t}{t^2}$ |
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)=x\mathrm{e}^x$ là
| $x\mathrm{e}^x+C$ |
| $(x-1)\mathrm{e}^x+C$ |
| $(x+1)\mathrm{e}^x+C$ |
| $\dfrac{x\mathrm{e}^x}{2}+C$ |
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=3x\left(x-\mathrm{e}^x\right)$ là
| $x^3+(3x-1)\mathrm{e}^x+C$ |
| $x^3-3(x-1)\mathrm{e}^x+C$ |
| $x^3+3(x-1)\mathrm{e}^x+C$ |
| $x^3-(3x+1)\mathrm{e}^x+C$ |
Kết quả của $I=\displaystyle\displaystyle\int x\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x$ là
| $I=x\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^x+C$ |
| $I=\dfrac{x^2}{2}\mathrm{e}^x+C$ |
| $I=\dfrac{x^2}{2}\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^x+C$ |
| $I=x\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^x+C$ |
Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}\). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(g\left(x\right)=\left(x+1\right)\cdot f'\left(x\right)\) là
| \(\dfrac{x^2+2x-2}{2\sqrt{x^2+2}}+C\) |
| \(\dfrac{x-2}{\sqrt{x^2+2}}+C\) |
| \(\dfrac{x^2+x+2}{\sqrt{x^2+2}}+C\) |
| \(\dfrac{x+2}{2\sqrt{x^2+2}}+C\) |
Cho biết $$\displaystyle\int\dfrac{2x-13}{(x+1)(x-2)}\mathrm{\,d}x=a\ln|x+1|+b\ln|x-2|+C$$Mệnh đề nào sau đây đúng?
| \(a-b=8\) |
| \(2a-b=8\) |
| \(a+2b=8\) |
| \(a+b=8\) |
Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f'(x)=x\mathrm{e}^x\) và \(f(0)=2\). Tính \(f(1)\).
| \(f(1)=8-2\mathrm{e}\) |
| \(f(1)=\mathrm{e}\) |
| \(f(1)=3\) |
| \(f(1)=5-2\mathrm{e}\) |
Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=x\mathrm{e}^{2x}\) là
| \(F(x)=2\mathrm{e}^{2x}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+C\) |
| \(F(x)=2\mathrm{e}^{2x}(x-2)+C\) |
| \(F(x)=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}(x-2)+C\) |
| \(F(x)=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+C\) |
Biết \(\displaystyle\int(x+3)\cdot\mathrm{e}^{-3x+1}\mathrm{\,d}x=-\dfrac{1}{m}\mathrm{e}^{-3x+1}(3x+n)+C\) với \(m,\,n\) là các số nguyên. Tính tổng \(S=m+n\).
| \(10\) |
| \(1\) |
| \(9\) |
| \(19\) |
Phát biểu nào sau đây là đúng?
| \(\displaystyle\int x\sin x\mathrm{\,d}x=x\cos x+\sin x+C\) |
| \(\displaystyle\int x\sin x\mathrm{\,d}x=-x\cos x+\sin x+C\) |
| \(\displaystyle\int x\sin x\mathrm{\,d}x=-x\cos x-\sin x+C\) |
| \(\displaystyle\int x\sin x\mathrm{\,d}x=x\cos x-\sin x+C\) |
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)=x\mathrm{e}^x\).
| \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=(x+1)\mathrm{e}^x+C\) |
| \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=(x-1)\mathrm{e}^x+C\) |
| \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x\mathrm{e}^x+C\) |
| \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x^2\mathrm{e}^x+C\) |
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(\cos2x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\cdot\mathrm{e}^x\), họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f'(x)\mathrm{e}^x\) là
| \(-\sin2x+\cos2x+C\) |
| \(-2\sin2x+\cos2x+C\) |
| \(-2\sin2x-\cos2x+C\) |
| \(2\sin2x-\cos2x+C\) |
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên khoảng $(0;+\infty)$. Biết $f(1)=1$ và $f(x)=xf'(x)+\ln x$, $\forall x\in(0;+\infty)$. Giá trị của $f(\mathrm{e})$ bằng
| $\mathrm{e}$ |
| $\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ |
| $1$ |
| $2$ |
Biết rằng \(I=\displaystyle\int\limits_{1}^{a}\dfrac{\ln x}{x^2}\mathrm{\,d}x=\dfrac{1-\ln2}{2}\). Giá trị của \(a\) bằng
| \(2\) |
| \(\ln2\) |
| \(4\) |
| \(8\) |
Kết quả của phép tính tích phân \(\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\ln(2x+1)\mathrm{\,d}x=a\ln3+b\), (\(a,\,b\in\mathbb{Q}\)) khi đó giá trị của \(ab^3\) bằng
| \(-\dfrac{3}{2}\) |
| \(3\) |
| \(1\) |
| \(\dfrac{3}{2}\) |