Đường gấp khúc $ABC$ trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-2;3]$.
Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^3f(x)\mathrm{~d}x$ bằng
 | $4$ |
 | $\dfrac{9}{2}$ |
 | $\dfrac{7}{2}$ |
 | $3$ |
Gọi tam giác cong \(OAB\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y=2x^2\), \(y=3-x\), \(y=0\) (như hình vẽ).
Tính diện tích \(S\) của tam giác cong \(OAB\).
| \(S=\dfrac{8}{3}\) |
| \(S=\dfrac{4}{3}\) |
| \(S=\dfrac{5}{3}\) |
| \(S=\dfrac{10}{3}\) |
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^2\), \(y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{3}\) và trục hoành như hình vẽ.
| \(\dfrac{7}{3}\) |
| \(\dfrac{56}{3}\) |
| \(\dfrac{39}{2}\) |
| \(\dfrac{11}{6}\) |
Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo (tam giác cong \(OAB\)) trong hình vẽ.
| \(\dfrac{5}{6}\) |
| \(\dfrac{5\pi}{6}\) |
| \(\dfrac{8}{15}\) |
| \(\dfrac{8\pi}{15}\) |
Tính diện tích \(S\) của hình phẳng (phần gạch sọc) trong hình.
| \(S=\dfrac{8}{3}\) |
| \(S=\dfrac{10}{3}\) |
| \(S=\dfrac{11}{3}\) |
| \(S=\dfrac{7}{3}\) |
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị \(f'(x)\) như hình vẽ.
Đặt \(g(x)=2f(x)-(x-1)^2\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
| \(g(-1)< g(5)< g(3)\) |
| \(g(3)< g(5)< g(-1)\) |
| \(g(5)< g(-1)< g(3)\) |
| \(g(-1)< g(3)< g(5)\) |
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(x)+x f'(x)=4x^3-6x^2$, $\forall x\in\mathbb{R}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$ và $y=f'(x)$ bằng
| $\dfrac{7}{12}$ |
| $\dfrac{45}{4}$ |
| $\dfrac{1}{2}$ |
| $\dfrac{71}{6}$ |
Cho hai hàm số $f(x)=mx^3+nx^2+px-\dfrac{5}{2}$ $(m,\,n,\,p\in\mathbb{R})$ và $g(x)=x^2+2x-1$ có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $-3$, $-1$, $1$ (tham khảo hình vẽ).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $f(x)$ và $g(x)$ bằng
| $\dfrac{9}{2}$ |
| $\dfrac{18}{5}$ |
| $4$ |
| $5$ |
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}(3x+1)f'(x)\mathrm{\,d}x=2022$ và $4f(1)-f(0)=2028$. Giá trị của $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{1}{4}}f(4x)\mathrm{\,d}x$ là
| $2$ |
| $\dfrac{2022}{3}$ |
| $\dfrac{1}{2}$ |
| $\dfrac{1}{4}$ |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $(0;+\infty)$. Biết $\dfrac{1}{x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $y=f'(x)\ln x$ và $f(2)=\dfrac{1}{\ln2}$. Khi đó $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\dfrac{f(x)}{x}\mathrm{\,d}x$ bằng
| $-\dfrac{7}{4}$ |
| $\dfrac{1}{2}$ |
| $-\dfrac{1}{2}$ |
| $\dfrac{7}{4}$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành, đường thẳng $x=-1$, $x=5$ (như hình vẽ).
Mệnh đề nào sau đây đúng?
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{1}^{5}f(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $S=-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int\limits_{1}^{5}f(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int\limits_{1}^{5}f(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $S=-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{1}^{5}f(x)\mathrm{\,d}x$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(x)+xf'(x)=4x^3+4x+2$, $\forall x\in\mathbb{R}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$ và $y=f'(x)$ bằng
| $\dfrac{5}{2}$ |
| $\dfrac{4}{3}$ |
| $\dfrac{1}{2}$ |
| $\dfrac{1}{4}$ |
Cho hai hàm số $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ và $g(x)=dx+e$ ($a,\,b,\,c,\,d,\,e\in\mathbb{R}$). Biết rằng đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ cắt nhau tại ba điểm $A,\,B,\,C$ sao cho $BC=2AB$, với phần diện tích $S_1$, $S_2$ như hình vẽ.
Khi đó $\dfrac{S_1}{S_2}$ bằng
| $\dfrac{5}{16}$ |
| $\dfrac{5}{32}$ |
| $\dfrac{3}{16}$ |
| $\dfrac{3}{32}$ |
Diện tích $S$ của phần hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^3\left|\dfrac{1}{2}{x^2}+\left(x^2-7x+12\right)\right|\mathrm{d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^2\dfrac{1}{2}{x^2}\rm{d}x-\displaystyle\displaystyle\int\limits_2^3\left(x^2-7x+12\right)\mathrm{d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^2\dfrac{1}{2}{x^2}\mathrm{d}x+\displaystyle\displaystyle\int\limits_2^3\left(x^2-7x+12\right)\mathrm{d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^3\left|\dfrac{1}{2}{x^2}-\left(x^2-7x+12\right)\right|\mathrm{d}x$ |
Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên dưới.
| $1$ |
| $\dfrac{7}{6}$ |
| $\dfrac{5}{3}$ |
| $\dfrac{7}{5}$ |
Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và trục hoành (phần gạch sọc như hình vẽ).
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{c}f(x)\mathrm{d}x$ |
| $S=\left|\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x+\displaystyle\displaystyle\int\limits_{b}^{c}f(x)\mathrm{d}x\right|$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{b}^{c}f(x)\mathrm{d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{c}f(x)\mathrm{d}x-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Diện tích $S$ của miền được tô đậm như hình vẽ được tính theo công thức nào sau đây?
| $S=-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{4}f(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $S=-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{4}f(x)\mathrm{\,d}x$ |
Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(x)=x\mathrm{e}^x+\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left(f(x)+f'(x)-\mathrm{e}^x-1\right)\mathrm{\,d}x$. Tính tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x$.
| $2\mathrm{e}^2-1$ |
| $-2\mathrm{e}^2-1$ |
| $-2\mathrm{e}^2+1$ |
| $2\mathrm{e}^2+1$ |
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol $y=x^2+3x-1$ và $y=-x^2+x+3$ được tô đậm trong hình bên có giá trị bằng
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{1}\left(4x+2\right)\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{1}\left(2x^2+2x-4\right)\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{1}\left(4-2x-2x^2\right)\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{1}\left(-4x-2\right)\mathrm{\,d}x$ |
Cho hàm số $y=2^x$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Diện tích $S$ của hình phẳng được tô đậm trong hình bằng
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{2}2^x\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}2^{2x}\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}2^x\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}2^x\mathrm{\,d}x$ |