Cho mặt cầu tâm $O$ bán kính $R=5$ và điểm $A$ thỏa mãn $OA=6$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
 | Điểm $A$ nằm trên mặt cầu |
 | Điểm $A$ nằm trong mặt cầu |
 | Điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu |
 | Điểm $A$ trùng với tâm mặt cầu |
Cho mặt cầu tâm $O$ bán kính $R=5$ và điểm $A$ thỏa mãn $OA=4$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
| Điểm $A$ nằm trên mặt cầu |
| Điểm $A$ nằm trong mặt cầu |
| Điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu |
| Điểm $A$ trùng với tâm mặt cầu |
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $AB=3$, $AD=4$. Biết đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và góc tạo bởi đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $45^\circ$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
| $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$ |
| $\dfrac{5}{2}$ |
| $\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$ |
| $\dfrac{5}{3}$ |
Cho khối cầu có bán kính $r=\sqrt{3}$. Thể tích của khối cầu bằng
| $9\pi$ |
| $\dfrac{4\pi}{3}$ |
| $2\pi\sqrt{3}$ |
| $4\pi\sqrt{3}$ |
Cho mặt cầu $S(O,r)$, biết khoảng cách từ $O$ tới mặt phẳng $(P)$ bằng $\dfrac{r}{3}$. Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính bằng
| $\dfrac{2r\sqrt{2}}{3}$ |
| $r\sqrt{3}$ |
| $\dfrac{2r}{3}$ |
| $\dfrac{r\sqrt{3}}{3}$ |
Một vật rắn gồm một nửa hình cầu, một hình trụ và một hình nón có hình dạng và kích thước như hình bên dưới.
Thể tích của vật rắn đã cho bằng
| $120\pi\text{ cm}^3$ |
| $144\pi\text{ cm}^3$ |
| $126\pi\text{ cm}^3$ |
| $111\pi\text{ cm}^3$ |
Cho một mặt cầu có bán kính là $5$cm. Một mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn (xem hình minh họa) cách tâm mặt cầu đã cho là $3$cm.
Bán kính đường tròn giao tuyến bằng
| $3$cm |
| $4$cm |
| $2$cm |
| $5$cm |
Thể tích của khối cầu có bán kính bằng $a$ là
| $\dfrac{3}{4}\pi a^3$ |
| $\dfrac{2}{3}\pi a^3$ |
| $4\pi a^3$ |
| $\dfrac{4}{3}\pi a^3$ |
Xét khối nón $(\mathscr{N})$ có đỉnh và đường tròn đáy cùng nằm trên một mặt cầu bán kính bằng 2. Khi $(\mathscr{N})$ có độ dài đường sinh bằng $2\sqrt{3}$, thể tích của nó bằng
| $2\sqrt{3}\pi$ |
| $3\pi$ |
| $6\sqrt{3}\pi$ |
| $\pi$ |
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $AB=3$, $AD=4$. Biết đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và góc tạo bởi đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $45^\circ$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
| $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$ |
| $\dfrac{5}{2}$ |
| $\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$ |
| $\dfrac{5}{3}$ |
Cho khối cầu có bán kính $r=\sqrt{3}$. Thể tích của khối cầu bằng
| $9\pi$ |
| $\dfrac{4\pi}{3}$ |
| $2\pi\sqrt{3}$ |
| $4\pi\sqrt{3}$ |
Cho mặt cầu $\mathscr{S}(O,r)$, biết khoảng cách từ $O$ tới mặt phẳng $(P)$ bằng $\dfrac{r}{3}$. Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính bằng
| $\dfrac{2r\sqrt{2}}{3}$ |
| $r\sqrt{3}$ |
| $\dfrac{2r}{3}$ |
| $\dfrac{r\sqrt{3}}{3}$ |
Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng $120^\circ$ và chiều cao bằng $4$. Gọi $(S)$ là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của $(S)$ bằng
| $64\pi$ |
| $256\pi$ |
| $192\pi$ |
| $96\pi$ |
Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng $3$ lần đường kính của đáy; một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng đường kính của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón sao cho đỉnh khối nón nằm trên mặt cầu (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài.
Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu (bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh).
| $\dfrac{1}{2}$ |
| $\dfrac{2}{3}$ |
| $\dfrac{4}{9}$ |
| $\dfrac{5}{9}$ |
Diện tích $S$ của mặt cầu bán kính $R$ được tính theo công thức nào dưới đây?
| $S=\pi R^3$ |
| $S=4\pi R^2$ |
| $S=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ |
| $S=\pi R^2$ |
Diện tích $S$ của mặt cầu bán kính $R$ được tính theo công thức nào dưới đây
| $S=16\pi R^2$ |
| $S=4\pi R^2$ |
| $S=\pi R^2$ |
| $S=\dfrac43\pi R^2$ |
Trền bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 3 lần đường kính của đáy; một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng đường kính của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón sao cho đỉnh khối nón nằm trên mặt cầu (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài.
Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu (bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh).
Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(4a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng \(\left(SBC\right)\) và mặt phẳng đáy bằng \(60^\circ\). Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) bằng
| \(\dfrac{172\pi a^2}{3}\) |
| \(\dfrac{76\pi a^2}{3}\) |
| \(84\pi a^2\) |
| \(\dfrac{172\pi a^2}{9}\) |
Cho khối cầu có bán kính \(r=4\). Thể tích của khối cầu đã cho bằng
| \(\dfrac{256\pi}{3}\) |
| \(64\pi\) |
| \(\dfrac{64\pi}{3}\) |
| \(256\pi\) |