Cho mặt cầu $S(O,r)$, biết khoảng cách từ $O$ tới mặt phẳng $(P)$ bằng $\dfrac{r}{3}$. Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính bằng
 | $\dfrac{2r\sqrt{2}}{3}$ |
 | $r\sqrt{3}$ |
 | $\dfrac{2r}{3}$ |
 | $\dfrac{r\sqrt{3}}{3}$ |
Cho mặt cầu $\mathscr{S}(O,r)$, biết khoảng cách từ $O$ tới mặt phẳng $(P)$ bằng $\dfrac{r}{3}$. Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính bằng
| $\dfrac{2r\sqrt{2}}{3}$ |
| $r\sqrt{3}$ |
| $\dfrac{2r}{3}$ |
| $\dfrac{r\sqrt{3}}{3}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho $(S)\colon x^2+y^2+z^2-4x-2y+10z-14=0$. Mặt phẳng $(P)\colon-x+4z+5=0$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn $(\mathscr{C})$. Tọa độ tâm $H$ của $(\mathscr{C})$ là
| $H(1;1;-1)$ |
| $H(-3;1;-2)$ |
| $H(9;1;1)$ |
| $H(-7;1;-3)$ |
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left(S\right)\colon\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2=16\) và các điểm \(A\left(1;0;2\right)\), \(B\left(-1;2;2\right)\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua hai điểm \(A,\,B\) sao cho thiết diện của mặt phẳng \((P)\) với mặt cầu \((S)\) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình \((P)\) dưới dạng \(ax+by+cx+3=0\). Tính tổng \(T=a+b+c\).
| \(-2\) |
| \(-3\) |
| \(0\) |
| \(3\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S)\colon x^2+y^2+z^2-6x+4y-12=0\). Mặt phẳng nào sau đây cắt \((S)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính \(r=3\)?
| \((\alpha)\colon x+y+z+\sqrt{3}=0\) |
| \((\beta)\colon2x+2y-z+12=0\) |
| \((\gamma)\colon4x-3y-z-4\sqrt{26}=0\) |
| \((\lambda)\colon3x-4y+5z-17+20\sqrt{2}=0\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P)\colon3x+y-3z+6=0\) và mặt cầu \((S)\colon(x-4)^2+(y+5)^2+(z+2)^2=25\). Biết \((P)\) cắt \((S)\) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính \(r\). Chọn phát biểu đúng.
| \(r=6\) |
| \(r=5\) |
| \(r=\sqrt{6}\) |
| \(r=\sqrt{5}\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P)\colon x-2y+2z-2=0\) và điểm \(I(-1;2;-1)\). Viết phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(I\), cắt mặt phẳng \((P)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng \(5\).
| \((S)\colon(x+1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=34\) |
| \((S)\colon(x-1)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=34\) |
| \((S)\colon(x+1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=16\) |
| \((S)\colon(x+1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=25\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(I(-3;0;1)\). Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I\) và cắt mặt phẳng \((P)\colon x-2y-2z-1=0\) theo một thiết diện là hình tròn. Biết rằng diện tích của hình tròn này bằng \(\pi\). Phương trình mặt cầu \((S)\) là
| \((x+3)^2+y^2+(z-1)^2=4\) |
| \((x+3)^2+y^2+(z-1)^2=25\) |
| \((x+3)^2+y^2+(z-1)^2=5\) |
| \((x+3)^2+y^2+(z-1)^2=2\) |
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $AB=3$, $AD=4$. Biết đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và góc tạo bởi đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $45^\circ$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
| $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$ |
| $\dfrac{5}{2}$ |
| $\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$ |
| $\dfrac{5}{3}$ |
Cho khối cầu có bán kính $r=\sqrt{3}$. Thể tích của khối cầu bằng
| $9\pi$ |
| $\dfrac{4\pi}{3}$ |
| $2\pi\sqrt{3}$ |
| $4\pi\sqrt{3}$ |
Một vật rắn gồm một nửa hình cầu, một hình trụ và một hình nón có hình dạng và kích thước như hình bên dưới.
Thể tích của vật rắn đã cho bằng
| $120\pi\text{ cm}^3$ |
| $144\pi\text{ cm}^3$ |
| $126\pi\text{ cm}^3$ |
| $111\pi\text{ cm}^3$ |
Thể tích của khối cầu có bán kính bằng $a$ là
| $\dfrac{3}{4}\pi a^3$ |
| $\dfrac{2}{3}\pi a^3$ |
| $4\pi a^3$ |
| $\dfrac{4}{3}\pi a^3$ |
Cho mặt cầu tâm $O$ bán kính $R=5$ và điểm $A$ thỏa mãn $OA=6$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
| Điểm $A$ nằm trên mặt cầu |
| Điểm $A$ nằm trong mặt cầu |
| Điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu |
| Điểm $A$ trùng với tâm mặt cầu |
Cho mặt cầu tâm $O$ bán kính $R=5$ và điểm $A$ thỏa mãn $OA=4$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
| Điểm $A$ nằm trên mặt cầu |
| Điểm $A$ nằm trong mặt cầu |
| Điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu |
| Điểm $A$ trùng với tâm mặt cầu |
Cho mặt cầu tâm $O$ bán kính $R=5$ và điểm $A$ thỏa mãn $OA=5$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
| Điểm $A$ nằm trên mặt cầu |
| Điểm $A$ nằm trong mặt cầu |
| Điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu |
| Điểm $A$ trùng với tâm mặt cầu |
Xét khối nón $(\mathscr{N})$ có đỉnh và đường tròn đáy cùng nằm trên một mặt cầu bán kính bằng 2. Khi $(\mathscr{N})$ có độ dài đường sinh bằng $2\sqrt{3}$, thể tích của nó bằng
| $2\sqrt{3}\pi$ |
| $3\pi$ |
| $6\sqrt{3}\pi$ |
| $\pi$ |
Một hình trụ có bán kính đáy bằng $a$, chu vi thiết diện qua trục bằng $10a$. Chiều cao của khối trụ đã cho bằng
| $3a$ |
| $a$ |
| $4a$ |
| $9a$ |
Cắt một hình nón $(N)$ bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác đều có diện tích $4\sqrt{3}a^2$. Diện tích toàn phần của hình nón $(N)$ bằng
| $3\pi a^2$ |
| $12\pi a^2$ |
| $\pi a^2$ |
| $6\pi a^2$ |
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $AB=3$, $AD=4$. Biết đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và góc tạo bởi đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $45^\circ$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
| $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$ |
| $\dfrac{5}{2}$ |
| $\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$ |
| $\dfrac{5}{3}$ |
Cho khối cầu có bán kính $r=\sqrt{3}$. Thể tích của khối cầu bằng
| $9\pi$ |
| $\dfrac{4\pi}{3}$ |
| $2\pi\sqrt{3}$ |
| $4\pi\sqrt{3}$ |