Cho mặt cầu $\mathscr{S}(O,r)$, biết khoảng cách từ $O$ tới mặt phẳng $(P)$ bằng $\dfrac{r}{3}$. Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính bằng
 | $\dfrac{2r\sqrt{2}}{3}$ |
 | $r\sqrt{3}$ |
 | $\dfrac{2r}{3}$ |
 | $\dfrac{r\sqrt{3}}{3}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)\colon x^2+y^2+z^2+4x-8y+2z+1=0$ và mặt phẳng $(P)\colon2x+y+3z-3=0$. Biết $(P)$ cắt $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn, tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $r$ của đường tròn đó.
| $I\left(\dfrac{8}{7};\dfrac{25}{7};-\dfrac{16}{7}\right)$ và $r=\dfrac{2\sqrt{854}}{3}$ |
| $I\left(\dfrac{8}{7};-\dfrac{31}{7};-\dfrac{2}{7}\right)$ và $r=\dfrac{\sqrt{854}}{5}$ |
| $I\left(-\dfrac{8}{7};\dfrac{31}{7};\dfrac{2}{7}\right)$ và $r=\dfrac{\sqrt{854}}{7}$ |
| $I\left(-\dfrac{8}{7};\dfrac{31}{7};\dfrac{2}{7}\right)$ và $r=\dfrac{\sqrt{854}}{3}$ |
Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)\colon x^2+y^2+z^2-2x+2y-6z+2=0$ cắt mặt phẳng $(Oyz)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng
| $3$ |
| $1$ |
| $2\sqrt{2}$ |
| $\sqrt{2}$ |
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S)\colon x^2+y^2+z^2-6x+4y-12=0\). Mặt phẳng nào sau đây cắt \((S)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính \(r=3\)?
| \((\alpha)\colon x+y+z+\sqrt{3}=0\) |
| \((\beta)\colon2x+2y-z+12=0\) |
| \((\gamma)\colon4x-3y-z-4\sqrt{26}=0\) |
| \((\lambda)\colon3x-4y+5z-17+20\sqrt{2}=0\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P)\colon3x+y-3z+6=0\) và mặt cầu \((S)\colon(x-4)^2+(y+5)^2+(z+2)^2=25\). Biết \((P)\) cắt \((S)\) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính \(r\). Chọn phát biểu đúng.
| \(r=6\) |
| \(r=5\) |
| \(r=\sqrt{6}\) |
| \(r=\sqrt{5}\) |
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $AB=3$, $AD=4$. Biết đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và góc tạo bởi đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $45^\circ$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
| $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$ |
| $\dfrac{5}{2}$ |
| $\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$ |
| $\dfrac{5}{3}$ |
Cho một mặt cầu có bán kính là $5$cm. Một mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn (xem hình minh họa) cách tâm mặt cầu đã cho là $3$cm.
Bán kính đường tròn giao tuyến bằng
| $3$cm |
| $4$cm |
| $2$cm |
| $5$cm |
Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)\colon(x+3)^2+y^2+(z-1)^2=10$. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng $3$?
| $\big(P_2\big)\colon x+2y-2z-8=0$ |
| $\big(P_4\big)\colon x+2y-2z-4=0$ |
| $\big(P_3\big)\colon x+2y-2z-2=0$ |
| $\big(P_1\big)\colon x+2y-2z+8=0$ |
Cho mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $S(O,R)$. Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $(P)$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $d< R$ |
| $d>R$ |
| $d=R$ |
| $d=0$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho $(S)\colon x^2+y^2+z^2-4x-2y+10z-14=0$. Mặt phẳng $(P)\colon-x+4z+5=0$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn $(\mathscr{C})$. Tọa độ tâm $H$ của $(\mathscr{C})$ là
| $H(1;1;-1)$ |
| $H(-3;1;-2)$ |
| $H(9;1;1)$ |
| $H(-7;1;-3)$ |
Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $x+\sqrt{2}y-z+3=0$ cắt mặt cầu $x^2+y^2+z^2=5$ theo giao tuyến là một đường tròn. Chu vi đường tròn đó bằng
| $\pi\sqrt{11}$ |
| $3\pi$ |
| $\pi\sqrt{15}$ |
| $\pi\sqrt{7}$ |
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \(\left(S\right)\colon x^2+y^2+z^2-2x+4y-4=0\) cắt mặt phẳng \(\left(P\right)\colon x+y-z+4=0\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left(\mathscr{C}\right)\). Tính diện tích \(S\) của hình tròn \(\left(\mathscr{C}\right)\).
| \(S=\dfrac{2\pi\sqrt{78}}{3}\) |
| \(S=2\pi\sqrt{6}\) |
| \(S=6\pi\) |
| \(S=\dfrac{26\pi}{3}\) |
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu tâm \(I\left(1;2;-1\right)\) và cắt mặt phẳng \(\left(P\right)\colon x-2y-2z-8=0\) theo một đường tròn có bán kính bằng \(4\) có phương trình là
| \(\left(x+1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-1\right)^2=5\) |
| \(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z+1\right)^2=9\) |
| \(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z+1\right)^2=25\) |
| \(\left(x+1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-1\right)^2=3\) |
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng \((P)\colon x+\sqrt{2}y-z+3=0\) cắt mặt cầu \((S)\colon x^2+y^2+z^2=5\) theo giao tuyến là đường tròn có diện tích là
| \(\dfrac{7\pi}{4}\) |
| \(\dfrac{15\pi}{4}\) |
| \(\dfrac{9\pi}{4}\) |
| \(\dfrac{11\pi}{4}\) |
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm \(I(3;-1;0)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \((P)\colon x+2y-2z-10=0\)?
| \((x-3)^2+(y+1)^2+z^2=9\) |
| \((x-3)^2+(y+1)^2+z^2=\dfrac{1}{9}\) |
| \((x+3)^2+(y-1)^2+z^2=9\) |
| \((x+3)^2+(y-1)^2+z^2=\dfrac{1}{9}\) |
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left(S\right)\colon\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2=16\) và các điểm \(A\left(1;0;2\right)\), \(B\left(-1;2;2\right)\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua hai điểm \(A,\,B\) sao cho thiết diện của mặt phẳng \((P)\) với mặt cầu \((S)\) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình \((P)\) dưới dạng \(ax+by+cx+3=0\). Tính tổng \(T=a+b+c\).
| \(-2\) |
| \(-3\) |
| \(0\) |
| \(3\) |
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S)\colon x^2+y^2+z^2+4x-2y+6z-11=0\) và mặt phẳng \((P)\colon x-2y+2z+1=0\). Gọi \((C)\) là đường tròn giao tuyến của \((P)\) và \((S)\). Tính chu vi đường tròn \((C)\).
| \(10\pi\) |
| \(4\pi\) |
| \(6\pi\) |
| \(8\pi\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \((P)\colon x-y-z+6=0\) và \((Q)\colon2x+3y-2z+1=0\). Gọi \((S)\) là mặt cầu có tâm thuộc \((Q)\) và cắt \((P)\) theo giao tuyến là đường tròn tâm \(E(-1;2;3)\), bán kính \(r=8\). Phương trình mặt cầu \((S)\) là
| \(x^2+(y+1)^2+(z+2)^2=64\) |
| \(x^2+(y-1)^2+(z-2)^2=67\) |
| \(x^2+(y-1)^2+(z+2)^2=3\) |
| \(x^2+(y+1)^2+(z-2)^2=64\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A(3;-2;-2)\), \(B(3;2;0)\), \(C(0;2;1)\) và \(D(-1;1;2)\). Mặt cầu tâm \(A\) và tiếp xúc với mặt phẳng \((BCD)\) có bán kính bằng
| \(9\) |
| \(5\) |
| \(\sqrt{14}\) |
| \(\sqrt{13}\) |