Chọn phương án A.

Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\), ta có \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}\) (1).

Xét tam giác vuông \(ABM\) ta có $$\begin{aligned}AM&=\sqrt{AB^2+BM^2}=\sqrt{a^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}\\
&=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\,\,(2).\end{aligned}$$
Từ (1) và (2) suy ra \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2AM=a\sqrt{5}\).