Chọn phương án D.

Giả sử \(z=x+y\mathrm{i}\) với \(x,\,y\in\mathbb{R}\).

Khi đó: $$\begin{aligned}
&\,z^2+2|z|&=0\\
\Leftrightarrow&\,(x+y\mathrm{i})^2+\sqrt{x^2+y^2}&=0\\
\Leftrightarrow&\,x^2-y^2+2xy\mathrm{i}+\sqrt{x^2+y^2}&=0\\
\Leftrightarrow&\,\left(x^2-y^2+\sqrt{x^2+y^2}\right)+2xy\mathrm{i}&=0\\
\Leftrightarrow&\,\begin{cases}
x^2-y^2+\sqrt{x^2+y^2}&=0\\
2xy=0
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\,\begin{cases}
x^2-y^2+\sqrt{x^2+y^2}&=0\\
\left[\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}\right.
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\,\left[\begin{array}{l}\begin{cases}
x=0\\ 0^2-y^2+\sqrt{0^2+y^2}=0
\end{cases}\\
\begin{cases}
y=0\\ x^2-0^2+\sqrt{x^2+0^2}=0
\end{cases}
\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\,\left[\begin{array}{l}\begin{cases}
x=0\\ -y^2+|y|=0
\end{cases}\\
\begin{cases}
y=0\\ x^2+|x|=0
\end{cases}
\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\,\left[\begin{array}{l}\begin{cases}
x=0\\ |y|=y^2
\end{cases}\\
\begin{cases}
y=0\\ x=0
\end{cases}
\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\,\left[\begin{array}{l}\begin{cases}
x=0\\ \left[\begin{array}{l}y=y^2\\ y=-y^2\end{array}\right.
\end{cases}\\
\begin{cases}
y=0\\ x=0
\end{cases}
\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\,\left[\begin{array}{l}
\begin{cases}x=0\\ y=1\end{cases}\\
\begin{cases}x=0\\ y=-1\end{cases}\\
\begin{cases}y=0\\ x=0\end{cases}
\end{array}\right.
\end{aligned}$$
Vậy có \(3\) số phức thỏa đề là \(z_1=0\), \(z_2=\mathrm{i}\) và \(z_3=-\mathrm{i}\).