Chọn phương án A.

Điều kiện xác định: $$\begin{cases}
x-1>0\\ x+3>0\\ 4x-3>0
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
x>1\\ x>-3\\ x>\dfrac{3}{4}
\end{cases}\Leftrightarrow x>1.$$
Khi đó$$\begin{eqnarray*}
&\log_5(x-1)+\log_5(x+3)&=\log_5(4x-3)\\
\Leftrightarrow&\log_5(x-1)(x+3)&=\log_5(4x-3)\\
\Leftrightarrow&(x-1)(x+3)&=4x-3\\
\Leftrightarrow&x^2-2x&=0\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{ll}x=0 &\text{(loại)}\\ x=2 &\text{(nhận)}\end{array}\right.
\end{eqnarray*}$$Vậy phương trình có nghiệm \(x=2\).