Ngân hàng bài tập
A
Cho các hàm số \(f(x)\), \(g(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\displaystyle\int\limits_{-1}^5\left[2f(x)+3g(x)\right]\mathrm{\,d}x=-5\) và \(\displaystyle\int\limits_{-1}^5\left[3f(x)-5g(x)\right]\mathrm{\,d}x=21\). Tính \(\displaystyle\int\limits_{-1}^5\left[f(x)+g(x)\right]\mathrm{\,d}x\).
 | \(-5\) |
 | \(1\) |
 | \(5\) |
 | \(-1\) |
1 lời giải
Chọn phương án D.
Đặt \(I_1=\displaystyle\int\limits_{-1}^{5}f(x)\mathrm{\,d}x\), \(I_2=\displaystyle\int\limits_{-1}^{5}g(x)\mathrm{\,d}x\).
Ta có hệ phương trình $$\begin{align*}
&\begin{cases}\int\limits_{-1}^{5}\left[2f(x)+3g(x)\right]\mathrm{\,d}x=-5\\ \int\limits_{-1}^{5}\left[3f(x)-5g(x)\right]\mathrm{\,d}x=21\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}2\int\limits_{-1}^{5}f(x)\mathrm{\,d}x+3\int\limits_{-1}^{5}g(x)\mathrm{\,d}x=-5\\ 3\int\limits_{-1}^{5}f(x)\mathrm{\,d}x-5\int\limits_{-1}^{5}g(x)\mathrm{\,d}x=21\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}2I_1+3I_2=-5\\ 3I_1-5I_2=21\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}I_1=2\\ I_2=-3\end{cases}
\end{align*}$$
\(\begin{align*}\text{Vậy }\displaystyle\int\limits_{-1}^{5}\left[f(x)+g(x)\right]\mathrm{\,d}x&=\displaystyle\int\limits_{-1}^{5}f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{-1}^{5}g(x)\mathrm{\,d}x\\&\begin{cases}\int\limits_{-1}^{5}\left[2f(x)+3g(x)\right]\mathrm{\,d}x=-5\\ \int\limits_{-1}^{5}\left[3f(x)-5g(x)\right]\mathrm{\,d}x=21\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}2\int\limits_{-1}^{5}f(x)\mathrm{\,d}x+3\int\limits_{-1}^{5}g(x)\mathrm{\,d}x=-5\\ 3\int\limits_{-1}^{5}f(x)\mathrm{\,d}x-5\int\limits_{-1}^{5}g(x)\mathrm{\,d}x=21\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}2I_1+3I_2=-5\\ 3I_1-5I_2=21\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}I_1=2\\ I_2=-3\end{cases}
\end{align*}$$
&=I_1+I_2=-1.\end{align*}\)