Chọn phương án D.

\(\begin{aligned}
&\,2^{x^3+2x^2-3x}\cdot3^{x-1}=1\\
\Leftrightarrow&\,\log_2\left[2^{x^3+2x^2-3x}\cdot3^{x-1}\right]=\log_21\\
\Leftrightarrow&\,\log_22^{x^3+2x^2-3x}+\log_23^{x-1}=0\\
\Leftrightarrow&\,x^3+2x^2-3x+(x-1)\log_23=0\\
\Leftrightarrow&\,x^3-x^2+3x^2-3x+(x-1)\log_23=0\\
\Leftrightarrow&\,x^2(x-1)+3x(x-1)+(x-1)\log_23=0\\
\Leftrightarrow&\,(x-1)\left(x^2+3x+\log_23\right)=0\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}x-1=0\\ x^2+3x+\log_23=0\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}x=1\\ x^2+3x+\log_23=0\quad(1)\end{array}\right.
\end{aligned}\)

Vì phương trình (1) có \(\Delta=9-4\log_23>0\) nên có \(2\) nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có \(3\) nghiệm phân biệt.