Chọn phương án A.

Điều kiện: \(6-5^x>0\Leftrightarrow5^x<6\).

\(\begin{aligned}
\log_5\left(6-5^x\right)=1-x\Leftrightarrow&\,5^{\log_5\left(6-5^x\right)}=5^{1-x}\\
\Leftrightarrow&\,5^{\log_5\left(6-5^x\right)}=5^{1-x}\\
\Leftrightarrow&\,6-5^x=\dfrac{5}{5^x}\\
\Leftrightarrow&\,6\cdot5^x-5^{2x}=5\\
\Leftrightarrow&\,5^{2x}-6\cdot5^x+5=0\\
\Leftrightarrow&\,\left[\begin{array}{l}5^x=1=5^0\\ 5^x=5=5^1\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\,\left[\begin{array}{ll}x=0 &\text{(nhận)}\\ x=1 &\text{(nhận)}\end{array}\right.
\end{aligned}\)

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là \(0+1=1\).