Chọn phương án C.

Điều kiện xác định: \(x>0\).

Phương trình đã cho tương đương với $$\begin{aligned}
&\,\left(\log_2x+1\right)^2-m\log_2x-2\log_2x+m-2=0\\
\Leftrightarrow&\,\log_2^2x-m\log_2x+m-1=0\\
\Leftrightarrow&\,\left[\begin{array}{l}
\log_2x=1\\
\log_2x=m-1
\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\,\left[\begin{array}{ll}
x=2 &\in[1;2]\\
x=2^{m-1}
\end{array}\right.
\end{aligned}$$
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn \([1;2]\) thì $$\begin{aligned}
\begin{cases}
1\leq2^{m-1}\leq2\\
2^{m-1}\neq2
\end{cases}\Leftrightarrow&\,1\leq2^{m-1}<2\\
\Leftrightarrow&\,2^0\leq2^{m-1}<2^1\\
\Leftrightarrow&\,0\leq m-1<1\\
\Leftrightarrow&\,1\leq m<2.
\end{aligned}$$
Vậy \(m\in[1;2)\) thỏa yêu cầu bài toán.