Chọn phương án D.

Đặt \(t=9^y\;(t>0)\).

Khi đó \(\log_3t=\log_39^y=2y\).

Phương trình đã cho trở thành $$\begin{aligned}
\log_3\left[3(x+1)\right]+x&=\log_3t+t\\
\Leftrightarrow\log_3(x+1)+(x+1)&=\log_3t+t\;(1)
\end{aligned}$$
Đặt \(f(x)=\log_3x+x\), phương trình (1) trở thành $$f(x+1)=f(t)\;(2)$$
Ta thấy \(f'(x)=\dfrac{1}{x\ln3}+1>0\), \(\forall x\in(0;+\infty)\).

Suy ra \(f(x)\) đồng biến trên \((0;+\infty)\).

Do đó phương trình (2) tương đương với $$x+1=t\Leftrightarrow x=t-1$$
Vì \(0\leq x\leq2020\) nên $$\begin{aligned}
0\leq t-1\leq2020\Leftrightarrow&\,1\leq t\leq2021\\
\Leftrightarrow&\,1\leq 9^y\leq2021\\
\Leftrightarrow&\,0\leq y\leq\log_92021.
\end{aligned}$$
Vì \(y\in\mathbb{Z}\) nên suy ra \(y\in\{0;1;2;3\}\).

• \(y=0\Rightarrow x=9^0-1=0\) (nhận).
• \(y=1\Rightarrow x=9^1-1=8\) (nhận).
• \(y=2\Rightarrow x=9^2-1=80\) (nhận).
• \(y=3\Rightarrow x=9^3-1=728\) (nhận).

Vậy có \(4\) cặp số nguyên \((x;y)\) thỏa đề.