Cho ba số phức \(z_1,\,z_2,\,z_3\) phân biệt thỏa mãn \(\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=\left|z_3\right|=3\) và \(\overline{z_1}+\overline{z_2}=\overline{z_3}\). Biết \(z_1,\,z_2,\,z_3\) lần lượt được biểu diễn bởi các điểm \(A,\,B,\,C\) trên mặt phẳng phức. Tính góc \(\widehat{ACB}\).
 | \(150^\circ\) |
 | \(90^\circ\) |
 | \(120^\circ\) |
 | \(45^\circ\) |
Chọn phương án C.
Giả sử \(A\left(a_1;a_2\right)\), \(B\left(b_1;b_2\right)\), \(C\left(c_1;c_2\right)\).
Ta có:
- \(\overrightarrow{CA}=\left(a_1-c_1;a_2-c_2\right)\)
- \(\overrightarrow{CB}=\left(b_1-c_1;b_2-c_2\right)\)
\cos\widehat{ACB}&=\dfrac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}}{\left|\overrightarrow{CA}\right|\cdot\left|\overrightarrow{CB}\right|}\\
&=\dfrac{\left(a_1-c_1\right)\left(b_1-c_1\right)+\left(a_2-c_2\right)\left(b_2-c_2\right)}{\sqrt{\left(a_1-c_1\right)^2+\left(a_2-c_2\right)^2}\cdot\sqrt{\left(b_1-c_1\right)^2+\left(b_2-c_2\right)^2}}.\quad(*)
\end{aligned}$$
Vì \(A,\,B,\,C\) lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \(z_1,\,z_2,\,z_3\) nên \(z_1=a_1+a_2i\), \(z_2=b_1+b_2i\), \(z_3=c_1+c_2i\).
Vì \(\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=\left|z_3\right|=3\) nên ta có:
- \(\left|z_1\right|=3\Leftrightarrow a_1^2+a_2^2=9\) (1)
- \(\left|z_2\right|=3\Leftrightarrow b_1^2+b_2^2=9\) (2)
- \(\left|z_3\right|=3\Leftrightarrow c_1^2+c_2^2=9\) (3)
Lại vì \(\overline{z_1}+\overline{z_2}=\overline{z_3}\) nên ta có $$\begin{aligned}
&\,\left(a_1-a_2i\right)+\left(b_1-b_2i\right)=c_1-c_2i\\
\Leftrightarrow&\,\left(a_1+b_1\right)-\left(a_2+b_2\right)i=c_1-c_2i\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}
a_1+b_1&=c_1\quad(4)\\
a_2+b_2&=c_2\quad(5)
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}
a_1-c_1=-b_1, &b_1-c_1=-a_1\quad(6)\\
a_2-c_2=-b_2, &b_2-c_2=-a_2\quad(7)
\end{cases}
\end{aligned}$$
Thay (4), (5) vào (3) ta có $$\begin{aligned}
\left(a_1+b_1\right)^2+\left(a_2+b_2\right)^2&=9\\
\Leftrightarrow\,\left(a_1^2+a_2^2\right)+\left(b_1^2+b_2^2\right)+2a_1b_1+2a_2b_2&=9\\
\Leftrightarrow\,9+9+2a_1b_1+2a_2b_2&=9\\
\Leftrightarrow\,a_1b_1+a_2b_2&=-\dfrac{9}{2}\quad(8)
\end{aligned}$$
Thay (1), (2), (6), (7), (8) vào (*) ta được $$\begin{aligned}
\cos\widehat{ACB}&=\dfrac{\left(-b_1\right)\left(-a_1\right)+\left(-b_2\right)\left(-a_2\right)}{\sqrt{\left(-b_1\right)^2+\left(-b_2\right)^2}\cdot\sqrt{\left(-a_1\right)^2+\left(-a_2\right)^2}}\\
&=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{b_1^2+b_2^2}\cdot\sqrt{a_1^2+a_2^2}}\\
&=\dfrac{-\dfrac{9}{2}}{\sqrt{9}\cdot\sqrt{9}}\\
&=-\dfrac{1}{2}.
\end{aligned}$$
Vậy \(\widehat{ACB}=120^\circ\).