Trong không gian \(Oxyz\) cho điểm \(H(1;2;3)\). Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(H\) và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt \(A,\,B,\,C\) sao cho \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).
 | \((P)\colon x+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1\) |
 | \((P)\colon x+2y+3z-14=0\) |
 | \((P)\colon x+y+z-6=0\) |
 | \((P)\colon\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1\) |
Chọn phương án B.
Giả sử \((P)\) cắt các trục tọa độ lần lượt tại \(A(a;0;0)\in Ox\), \(B(0;b;0)\in Oy\), \(C(0;0;c)\in Oz\).
Khi đó ta có phương trình đoạn chắn $$(P)\colon\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$$
Ta có \(\overrightarrow{HA}=(a-1;-2;-3)\), \(\overrightarrow{BC}=(0;-b;c)\), \(\overrightarrow{HB}=(-1;b-2;-3)\), \(\overrightarrow{AC}=(-a;0;c)\).
Vì \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên $$\begin{aligned}
\begin{cases}
HA\bot BC\\
HB\bot AC
\end{cases}\Leftrightarrow&\begin{cases}
\overrightarrow{HA}\bot\overrightarrow{BC}\\
\overrightarrow{HB}\bot\overrightarrow{AC}
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}
\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{BC}=0\\
\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{AC}=0
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}
2b-3c&=0\\
a-3c&=0
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}
b=\dfrac{3c}{2}\\
a=3c.
\end{cases}\quad(2)
\end{aligned}$$
Thay (2) vào (1) ta được $$\begin{aligned}
\dfrac{1}{3c}+\dfrac{4}{3c}+\dfrac{3}{c}=1\Leftrightarrow&\,\dfrac{14}{3c}=1\\
\Leftrightarrow&\,c=\dfrac{14}{3}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}
a=3c=14\\
b=\dfrac{3c}{2}=7.
\end{cases}
\end{aligned}$$
Vậy \((P)\colon\dfrac{x}{14}+\dfrac{y}{7}+\dfrac{z}{\tfrac{14}{3}}=1\)
hay \(x+2y+3z-14=0\).