Ngân hàng bài tập
A
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A(1;2;3)\), \(B(-2;4;4)\), \(C(4;0;5)\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). \(M\) là điểm nằm trên mặt phẳng \((Oxy)\) sao cho độ dài đoạn thẳng \(GM\) ngắn nhất. Tính độ dài đoạn thẳng \(GM\).
 | \(GM=4\) |
 | \(GM=\sqrt{5}\) |
 | \(GM=1\) |
 | \(GM=\sqrt{2}\) |
1 lời giải
Chọn phương án A.
Ta có:
- Trọng tâm \(G(1;2;4)\)
- Mặt phẳng \((Oxy)\colon z=0\)
Độ dài đoạn thẳng \(GM\) ngắn nhất khi và chỉ khi \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) lên mặt phẳng \((Oxy)\). Khi đó $$GM=\mathrm{d}\left(G,(Oxy)\right)=\dfrac{|1\cdot4|}{\sqrt{1^2}}=4$$