Ngân hàng bài tập
SS
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(0;-2;-1)\), \(B(-2;-4;3)\), \(C(1;3;-1)\). Tìm điểm \(M\in(Oxy)\) sao cho \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
 | \(\left(-\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5};0\right)\) |
 | \(\left(\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5};0\right)\) |
 | \(\left(\dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5};0\right)\) |
 | \(\left(\dfrac{1}{5};-\dfrac{3}{5};0\right)\) |
1 lời giải
Chọn phương án B.
Giả sử \(M(x;y;0)\in(Oxy)\). Ta có
- \(\overrightarrow{MA}=(-x;-4-y;-1)\)
- \(\overrightarrow{MB}=(-2-x;-4-y;3)\)
- \(3\overrightarrow{MC}=(3-3x;9-3y;-3)\)
Khi đó \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=(1-5x;3-5y;-1)\).
Suy ra \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right|=\sqrt{(1-5x)^2+(3-5y)^2+1}\).
Vì \((1-5x)^2+(3-5y)^2+1\geq0\) với \(\forall x,\,y\) nên \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi $$\begin{cases}
1-5x=0\\
3-5y=0
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
x=\dfrac{1}{5}\\
y=\dfrac{3}{5}.
\end{cases}$$
1-5x=0\\
3-5y=0
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
x=\dfrac{1}{5}\\
y=\dfrac{3}{5}.
\end{cases}$$
Vậy \(M\left(\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5};0\right)\).