Chọn phương án D.

Dùng máy tính cầm tay:

1. Tính \(\displaystyle\int\limits_{0}^{3}\dfrac{x}{1+\sqrt{1+x}}\mathrm{\,d}x\).
   
2. Lần lượt kiểm tra các phương án, ta có
   
   
   
   

Vậy \(\displaystyle\int\limits_{0}^{3}\dfrac{x}{1+\sqrt{1+x}}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(2t^2-2t\right)\mathrm{\,d}t\).

Chọn phương án D.

Với \(t=\sqrt{1+x}\) ta có

• \(t^2=1+x\Rightarrow x=t^2-1\Rightarrow\mathrm{\,d}x=2t\mathrm{\,d}t\)
• \(x=0\Rightarrow t=\sqrt{1+0}=1\)
• \(x=3\Rightarrow t=\sqrt{1+3}=2\)

Khi đó $$\begin{aligned}
\displaystyle\int\limits_{0}^{3}\dfrac{x}{1+\sqrt{1+x}}\mathrm{\,d}x&=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\dfrac{t^2-1}{1+t}\cdot2t\mathrm{\,d}t\\
&=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\dfrac{(t+1)(t-1)}{1+t}\cdot2t\mathrm{\,d}t\\
&=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}2t(t-1)\mathrm{\,d}t\\
&=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(2t^2-2t\right)\mathrm{\,d}t.
\end{aligned}$$