Chọn phương án B.

Dùng máy tính cầm tay:

1. Gán tích phân \(\displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{\sin x+1}\mathrm{\,d}x\) vào biến nhớ A
   
2. Khi đó ta có hàm số \(b=f(a)\) như sau:
   
3. Cho \(a\) biến thiên trên đoạn \([-10;10]\)
   
4. Tìm giá trị nguyên \(b\) đủ nhỏ
   

Vậy \(\begin{cases}a=2\\ b=-1\end{cases}\Rightarrow ab=-2\).

Chọn phương án B.

Đặt \(u=\sin x+1\), ta có

• \(\mathrm{d}u=\cos x\mathrm{\,d}x\)
• \(x=\dfrac{\pi}{6}\Rightarrow u=\dfrac{3}{2}\)
• \(x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow u=2\)

Khi đó ta có $$\begin{aligned}
\displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{\sin x+1}\mathrm{\,d}x&=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{3}{2}}^{2}\dfrac{1}{u}\mathrm{\,d}u\\
&=\ln|u|\bigg|_{\tfrac{3}{2}}^2\\
&=\ln2-\ln\dfrac{3}{2}=\ln2-\left(\ln3-\ln2\right)\\
&=2\ln2-\ln3.
\end{aligned}$$
Vậy \(\begin{cases}
a=2\\ b=-1
\end{cases}\Rightarrow a\cdot b=-2\).