Chọn phương án B.

Xét hai tam giác vuông $OAB$ và $OAC$ ta thấy

• cạnh $OA$ chung
• $AB=AC$

Suy ra $OAB=OAC$. Vậy $OB=OC$.

Tương tự, ta cũng có $OA=OB$ và $OA=OC$.

Do đó, $OA=OB=OC=a$.

Ta có $A(a;0;0)$, $B(0;a;0)$, $C(0;0;a)$.

Suy ra $\left(\alpha\right)\colon:\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{a}+\dfrac{z}{a}=1$ hay $x+y+z=a$.

Vì $M\in\left(\alpha\right)$ nên $1+2+3=a=6$.

Vậy $\left(\alpha\right)\colon x+y+z-6=0$.

Chọn phương án B.

Vì \(A,\,B,\,C\) lần lượt là giao điểm của \((\alpha)\) với các tia \(Ox,\,Oy,\,Oz\) nên ta giả sử \(A(a;0;0)\), \(B(0;b;0)\), \(C(0;0;c)\) với \(a,\,b,\,c>0\).

Khi đó ta có phương trình đoạn chắn $$(\alpha)\colon\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$$

• \(\overrightarrow{AB}=(-a;b;0)\Rightarrow AB^2=a^2+b^2\)
• \(\overrightarrow{AC}=(-a;0;c)\Rightarrow AC^2=a^2+c^2\)
• \(\overrightarrow{BC}=(0;-b;c)\Rightarrow BC^2=b^2+c^2\)

Vì \(ABC\) là tam giác đều nên $$\begin{aligned}
\begin{cases}
AB=AC\\ AB=BC
\end{cases}\Leftrightarrow&\begin{cases}
AB^2=AC^2\\ AB^2=BC^2
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}
a^2+b^2=a^2+c^2\\ a^2+b^2=b^2+c^2
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}
b^2=c^2\\ a^2=c^2
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\,a=b=c.
\end{aligned}$$
Lại vì \(N(1;2;3)\in(\alpha)\) nên $$\begin{aligned}
\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}=1\Leftrightarrow&\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{a}=1\\
\Leftrightarrow&\dfrac{6}{a}=1\\
\Leftrightarrow&\,a=6.
\end{aligned}$$
Vậy \((\alpha)\colon\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{6}=1\)
hay \(x+y+z-6=0\).