Ngân hàng bài tập
A
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x+\dfrac{1}{x-2}\) trên khoảng \((2;+\infty)\) là
 | \(2\) |
 | \(3\) |
 | \(4\) |
 | \(2\sqrt{2}\) |
1 lời giải
Chọn phương án C.
Ta có \(f(x)=x-2+\dfrac{1}{x-2}+2\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(x-2\) và \(\dfrac{1}{x-2}\) ta có $$\begin{eqnarray*}
&x-2+\dfrac{1}{x-2}&\geq2\sqrt{(x-2)\cdot\dfrac{1}{x-2}}\\
\Leftrightarrow&f(x)-2&\geq2\\
\Leftrightarrow&f(x)&\geq4
\end{eqnarray*}$$
Dấu "=" xảy ra khi $$x-2=\dfrac{1}{x-2}\Leftrightarrow(x-2)^2=1\Leftrightarrow x=3$$
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x+\dfrac{1}{x-2}\) trên khoảng \((2;+\infty)\) là \(4\).