Chọn phương án A.

$$\begin{cases}
-2a&=2m\\ -2b&=2(m-1)\\ c&=2m^2
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
a=-m\\ b=1-m\\ c=2m^2.
\end{cases}$$
Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn thì $$\begin{eqnarray*}
&a^2+b^2-c&>0\\
\Leftrightarrow&(-m)^2+(1-m)^2-2m^2&>0\\
\Leftrightarrow&m^2+1-2m+m^2-2m^2&>0\\
\Leftrightarrow&1-2m&>0\\
\Leftrightarrow&m&<\dfrac{1}{2}.
\end{eqnarray*}$$