Chọn phương án C.

Điều kiện: \(x-4\geq0\Leftrightarrow x\geq4\).
Phương trình đã cho trở thành $$\begin{align*}\left[\begin{array}{l}\sqrt{x-4}-1=0\\ x^2-7x+6=0\end{array}\right.\Leftrightarrow&\,\left[\begin{array}{ll}\sqrt{x-4}=1\\ x=1 &\text{(loại)}\\ x=6 &\text{(nhận)}\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow&\,\left[\begin{array}{l}x-4=1\\ x=6\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow&\,\left[\begin{array}{ll}x=5 &\text{(nhận)}\\ x=6\end{array}\right.\end{align*}$$Vậy phương trình có 2 nghiệm là \(x=5\) và \(x=6\).