Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M(1;0;4)\) và đường thẳng \(d\colon\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{x+1}{2}\). Tìm hình chiếu vuông góc \(H\) của \(M\) lên đường thẳng \(d\).
 | \(H(2;-1;3)\) |
 | \(H(1;0;1)\) |
 | \(H(-2;3;0)\) |
 | \(H(0;1;-1)\) |
Chọn phương án A.
Vì \(d\) đi qua điểm \(N(0;1;-1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(1;-1;2)\) nên có phương trình tham số $$\begin{cases}
x=t\\ y=1-t\\ z=-1+2t.
\end{cases}$$
Khi đó \(\overrightarrow{MH}=(t-1;1-t;-5+2t)\).
Vì \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên \(d\) nên $$\begin{aligned}
\overrightarrow{MH}\bot\overrightarrow{u}&\Leftrightarrow\overrightarrow{MH}\cdot\overrightarrow{u}=0\\
&\Leftrightarrow1\cdot(t-1)-1\cdot(1-t)+2\cdot(-5+2t)=0\\
&\Leftrightarrow6t-12=0\\
&\Leftrightarrow t=2\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}
x=2\\ y=1-2=-1\\ z=-1+2\cdot2=3
\end{cases}
\end{aligned}$$
Vậy \(H(2;-1;3)\).