Chọn phương án B.

• Thay \(x=y=0\) vào phương trình \(x+y-z-1=0\) ta được \(z=-1\). Suy ra \(B(0;0;-1)=Oz\cap(P)\).
• Lấy điểm \(C(0;0;1)\in Oz\). Gọi \(d'\) là đường thẳng đi qua \(C\) và vuông góc \((P)\). Ta có \(d'\colon\begin{cases}x=t\\ y=t\\ z=1+t.\end{cases}\)
  Thay vào phương trình \(x+y-z-1=0\) ta được \(t=2\). Suy ra \(D(2;2;3)\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên \((P)\).

Khi đó \(B,\,D\in d\Rightarrow\overrightarrow{BD}=(2;2;4)\) là vectơ chỉ phương của \(d\).

Thay vào phương trình \(2x+y-2z+1=0\) ta được $$2+4t+2t-8t+1=0\Leftrightarrow t=\dfrac{3}{2}.$$
Từ đó suy ra \(M(4;3;6)\) là giao điểm của \(\Delta\) và \((Q)\).

Vậy \(S=4+3+6=13\).

Chọn phương án B.

Ta có \(\overrightarrow{n}=(1;1;-1)\) là vectơ pháp tuyến của \((P)\), \(\overrightarrow{k}=(0;0;1)\) là vectơ chỉ phương của \(Oz\).

Giả sử \(\overrightarrow{u}=(a;b;c)\) là vectơ chỉ phương của \(\Delta\).

Vì \(\Delta\subset(P)\) nên \(\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{n}\), tức là $$a\cdot1+b\cdot1+c\cdot(-1)=0\Leftrightarrow a+b=c$$

Vì \(a^2+b^2\geq2ab\) nên $$\begin{eqnarray*}
&a^2+\left(a^2+b^2\right)+b^2&\geq a^2+2ab+b^2\\
\Leftrightarrow&2a^2+2b^2&\geq(a+b)^2\\
\Leftrightarrow&a^2+b^2&\geq\dfrac{(a+b)^2}{2}\\
\Leftrightarrow&a^2+b^2&\geq\dfrac{c^2}{2}\\
\Leftrightarrow&a^2+b^2+c^2&\geq\dfrac{3c^2}{2}\\
\Leftrightarrow&\sqrt{a^2+b^2+c^2}&\geq|c|\sqrt{\dfrac{3}{2}}
\end{eqnarray*}$$
Suy ra \(\dfrac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\leq\dfrac{\sqrt{6}}{3}\).

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\).

Chọn \(a=1\), ta có \(\overrightarrow{u}=(1;1;2)\).

Suy ra \(\Delta\colon\begin{cases}
x=1+t\\ y=t\\ z=2t.
\end{cases}\)

Khi đó \(S=4+3+6=13\).