Chọn phương án B.

♥ Xét \(m=1\), ta có \(f\left(x\right)=1,\;\forall x\ne-1\).
Khi đó \(\left|f\left(x\right)\right|=1\) nên $$\max\limits_{[0;1]}\left|f\left(x\right)\right|+\min\limits_{[0;1]}\left|f\left(x\right)\right|=2.$$Vậy \(m=1\) thỏa mãn yêu cầu.

♥ Xét \(m\ne1\) ta có \(f'\left(x\right)=\dfrac{1-m}{\left(x+1\right)^2}\) không đổi dấu với \(\forall x\in\mathbb{R}\backslash\left\{-1\right\}\).
Suy ra \(f(x)\) đơn điệu trên đoạn \(\left[0;1\right]\).

Ta có \(f\left(0\right)=m\), \(f\left(1\right)=\dfrac{1+m}{2}\).

• Trường hợp 1. \(m\cdot\dfrac{1+m}{2}\le0\Leftrightarrow-1\le m\le0\).
  Suy ra \(\begin{cases}\min\limits_{[0;1]}\left|f(x)\right|=0\\ \max\limits_{[0;1]}\left|f(x)\right|=\max\left\{\left|m\right|;\left|\dfrac{m+1}{2}\right|\right\}\end{cases}\)
  Vì \(-1\le m\leq0\Rightarrow\left|m\right|+\left|\dfrac{m+1}{2}\right|<2\) (loại).
• Trường hợp 2. \(m\cdot\dfrac{1+m}{2}>0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m>0\\ m<-1\end{array}\right.\)
  Khi đó $$\begin{aligned}\min\limits_{[0;1]}\left|f(x)\right|+\max\limits_{[0;1]}\left|f(x)\right|=&\left|m\right|+\left|\dfrac{m+1}{2}\right|\\ =&\left|\dfrac{3m+1}{2}\right|=2\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-\dfrac{5}{3}\end{array}\right.\end{aligned}$$

Vậy \(S=\left\{1;-\dfrac{5}{3}\right\}\).