Chọn phương án B.

Điều kiện: \(\begin{cases}
x+y>0 \\
x^2+y^2>0\end{cases}\)

Đặt \(t=\log_3\left(x+y\right)=\log_4\left(x^2+y^2\right)\).

Khi đó ta có \(\begin{cases}
x+y=3^t &\left(1\right) \\
x^2+y^2=4^t &\left(2\right).
\end{cases}\)

Ta thấy \((1)\) là phương trình đường thẳng \(d\colon x+y-3^t=0\), còn \((2)\) là phương trình đường tròn \(\left(\mathscr{C}\right)\) tâm \(O(0;0)\), bán kính \(R=2^t\).

Suy ra \(x,\,y\) tồn tại nếu đường thẳng \(d\) cắt đường tròn \(\left(C\right)\) tại ít nhất một điểm, tức là $$\begin{eqnarray*}
&\mathrm{d}\left(O,d\right)&\leq R\\
\Leftrightarrow&\dfrac{\left|-3^t\right|}{\sqrt{2}}&\leq2^t\\
\Leftrightarrow&\left(\dfrac{3}{2}\right)^t&\leq\sqrt{2}\\
\Leftrightarrow&t&\leq\log_{\tfrac{3}{2}}\sqrt{2}\approx0,8548.
\end{eqnarray*}$$Khi đó \(x^2+y^2\leq4^t\approx3,27\).

Suy ra \(\begin{cases}
0\le {{x}^{2}}\le 3\\
x\in \mathbb{Z}
\end{cases}\Rightarrow\left[\begin{array}{l}
x=-1 \\
x=0 \\
x=1
\end{array}\right.\)

• \(x=-1\Rightarrow\begin{cases}y=3^t+1\\ y^2=4^t-1\end{cases}\)
  \(\Rightarrow\begin{cases}4^t-1>0\\ 4^t-1=\left(3^t+1\right)^2\end{cases}\)
  \(\Rightarrow\begin{cases}t>0\\ f\left(t\right)=9^t+2\cdot3^t+2-4^t=0.\end{cases}\)
  Khi \(0<t<0,8548\Rightarrow9^t\ge4^t\Rightarrow f\left(t\right)>0\).
  Suy ra \(x=-1\) loại.
• \(x=0\Rightarrow\begin{cases}y=3^t \\ y^2=4^t\end{cases}\Rightarrow4^t=3^t\)
  Suy ra \(t=0\Rightarrow y=1\) (nhận).
• \(x=1\Rightarrow\begin{cases}y=3^t-1\\ y^2=4^t-1\end{cases}\)
  Suy ra \(y=t=0\) (nhận).

Vậy có \(2\) số nguyên \(x\) thỏa đề.