Ngân hàng bài tập
A
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\colon x-y=0\). Ảnh của đường thẳng \(d\) qua phép quay tâm \(O(0;0)\) góc quay \(45^\circ\) có phương trình là
 | \(y=0\) |
 | \(x+y=0\) |
 | \(x=0\) |
 | \(x-2y+3=0\) |
1 lời giải
Chọn phương án C.
Ta có \(\mathrm{Q}_{\left(O,45^\circ\right)}\colon\begin{cases}
x'=\dfrac{\sqrt{2}}{2}x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}y\\ y'=\dfrac{\sqrt{2}}{2}x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}y.
\end{cases}\)
Ta thấy \(O(0;0)\in d\) và \(A(1;1)\in d\).
Gọi \(O'\) và \(A'\) lần lượt là ảnh của \(O\) và \(A\) qua phép quay \(\mathrm{Q}_{\left(O,45^\circ\right)}\). Khi đó đường thẳng \(O'A'\) chính là ảnh của \(d\) qua \(\mathrm{Q}_{\left(O,45^\circ\right)}\).
- \(\begin{cases}x'=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot0-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot0=0\\ y'=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot0+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot0=0.\end{cases}\Rightarrow O'(0;0)\).
- \(\begin{cases}x'=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot1=0\\ y'=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot1=\sqrt{2}.\end{cases}\Rightarrow A'\left(0;\sqrt{2}\right)\).
Vectơ \(\overrightarrow{O'A'}=\left(0;\sqrt{2}\right)\) là vectơ chỉ phương của \(O'A'\). Suy ra \(\overrightarrow{n}=(1;0)\) là vectơ pháp tuyến của \(O'A'\).
Vậy \(O'A'\colon1(x-0)+0(y-0)=0\Leftrightarrow x=0\).
- Phép quay tâm $O(0;0)$ góc $\alpha$: $$\begin{cases}x'=x\cos\alpha-y\sin\alpha\\ y'=x\sin\alpha+y\cos\alpha\end{cases}$$
- Phép quay tâm $I(a;b)$ góc $\alpha$: $$\begin{cases}x'=(x-a)\cos\alpha-(y-b)\sin\alpha+a\\ y'=(x-a)\sin\alpha+(y-b)\cos\alpha+b\end{cases}$$